Chapitres 5 : la fonction exponentielle 18 décembre 2015




Correction contrôle de mathématiques
Du lundi 14 décembre 2015

Exercice 1
ROC Voir cours (3 points)

Exercice 2
Propriétés, équation et inéquation (3 points)
1) Résoudre dans R, les équations suivantes :
a) Comme la fonction exp est monotone sur R ( )
3x−x 3x−1 0 1 1
e =1 ⇔ e =e ⇔ 3x − 1 = 0 ⇔ x = ⇔ S =
3 3
b) Comme la fonction exp est monotone sur R et ea × eb = ea+b , (e x )2 = e2x
 2
e3−x × e2x−1 = e5+x ⇔ e x+2 = e10+2x ⇔ x + 2 = 2x + 10 ⇔ x = −8 ⇔
S = {−8}
2) Comme la fonction exp est croissante sur R
2
e x −x < e ⇔ x2 − x < 1 ⇔ x2 − x − 1 < 0 √ √
1+ 5 1− 5
On calcule ∆ = 1 + 5 = 5, deux racines : x1 = et x2 =
2 2
# √ √ "
1− 5 1+ 5
On prend à l’intérieur des racines : S = ;
2 2

Exercice 3
Limite et dérivée. (2 points)
1) On ne peut résoudre la limite par produit (forme +∞ × 0), on développe :
(3 − x)e x = 3e x − xe x , des limites de référence lim e x = 0 et lim xe x = 0,
x→−∞ x→−∞

On déduit par produit et somme : lim (3 − x)e x = 0
x→−∞

2) On dérive f avec : (eu )′ = u′ eu et (uv)′ = u′ v + uv′ ,
f ′ (x) = −e−x − e−x + xe−x = e−x (x − 2)

Exercice 4
Fonction (4 points)
1) • En +∞, forme indéterminée, on factorise le dénominateur par e x pour x , 0
ex 1
f (x) =  x = x
ex 1 − x 1− x
e e
x
e x
lim = +∞, donc par quotient lim x = 0
x→+∞ x x→+∞ e
Par somme et quotient, on a alors : lim f (x) = 1
x→+∞



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• En −∞, on ne change pas la forme :
lim e x = 0

x→−∞


 Par quotient
⇒

lim e x − x = +∞ 

 lim f (x) = 0
x→−∞

x→−∞
 u ′ u′ v − uv′
2) On dérive f avec : =
v v2
e x (e x − x) − e x (e x − 1) e x (e x − x − e x + 1) e x (1 − x)
f ′ (x) = = = x
(e x − x)2 (e x − x)2 (e − x)2
3) Comme ∀x ∈ R, e x > 0, on a :
• f ′ (x) = 0 ⇔ 1 − x = 0 ⇔ x = 1
• signe de f ′ (x) = signe de (1 − x)
On en déduit les variations de la fonction f :

x −∞ 1 +∞
f ′ (x) + 0 −
e
f (x) e−1
0 1


Exercice 5
D’après le bac (7 points)

1) a) On dérive avec : (eu )′ = u′ eu ⇒ g′ (x) = 2e2x − e x − 1
On développe la quantité proposée :
(e x − 1)(2e x + 1) = 2(e x )2 + e x − 2e x − 1 = 2e2x − e x − 1 = g′ (x)

b) Comme ∀x ∈ R, e x > 0 alors 2e x + 1 > 1 > 0. Donc :
• g′ (x) = 0 ⇔ e x − 1 = 0 ⇔ x = 0
• Signe de g′ (x) = signe de e x − 1, comme la fonction exp est croissante, on a :

x −∞ 0 +∞
g′ (x) − 0 +

g(x)
0

Le minimum de g est donc zéro.

2) a) un+1 − un = e2un − eun − un = g(un )
D’après la question 1) b), ∀x ∈ R, g(x) > 0.
Donc ∀n ∈ N, g(un ) > 0 ⇔ un+1 − un > 0. La suite (un ) est croissante.




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b) Soit la proposition : ∀n, un 6 0.
Initialisation : u0 = −1 < 0. La proposition est initialisée.
Hérédité : Supposons que un < 0 montrons que un+1 < 0
un+1 = eun (eun − 1)
• un < 0 (hyp. récurrence) donc eun < 1 ⇔ eun − 1 < 0
• ∀n ∈ N, eun > 0
Par produit eun (eun − 1) < 0 ⇔ un+1 < 0
La proposition est héréditaire
Par initialisation et hérédité ∀n, un 6 0.
c) La suite (un ) est croissante et majorée par 0, d’après le théorème des suites mono-
tones, la suite (un ) est convergente vers ℓ 6 0
d) On pose f (x) = e2x − en
La suite (un ), définie par récurrence par un+1 = f (un ), est convergente vers ℓ 6 0. La
fonction f est continue sur ] − ∞ ; 0] par produit et somme de fonctions continues,
d’après le théorème du point fixe, ℓ vérifie l’équation :
f (x) = x ⇔ e2x − e x = x ⇔ e2x − e x − x = 0 ⇔ g(x) = 0
D’après l’étude de la fonction g à la question 1) b), l’équation g(x) = 0 admet 0
comme unique solution donc ℓ = 0

3) a) On a l’algorithme complété ci-contre Variables : n, p : entiers u : réel
Entrées et initialisation
Saisir la valeur de p
n prend la valeur 0
b) On trouve alors n = 64 u prend la valeur −1
Traitement
tant que |un | > 10−p faire
n prend la valeur n + 1
u prend la valeur e−2u − eu
fin
Sorties : Afficher n



Exercice 6
Trouver une fonction (2 points)
1) Si la tangente en 1 est horizontale alors f ′ (1) = 0
• f ′ (x) = ae−x − (ax + b)e−x = e−x (a − ax − b) = e−x (−ax + a − b)
• f ′ (1) = 0 ⇔ e−1 (−a + a − b) = 0 ⇔ e−1 (−b) = 0 ⇔ b = 0
a
2) La hauteur du toboggan est donné par f (1) = ae−1 =
e
a
On doit avoir 3, 5 6 6 4 ⇔ 3, 5e 6 a 6 4e
e
or 3, 5e ≈ 9, 5 et 4e ≈ 10, 8 comme a est entier a = 10
La fonction cherchée est donc f (x) = 10xe−x



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