Chapitres 5 : la fonction exponentielle 1er décembre 2014




Contrôle de mathématiques
Mardi 09 décembre 2014


Exercice 1
ROC (3 points)

1) Prérequis : On admettra que : ∀x ∈ R, e x > x
x2
Montrer que la fonction f définie par f (x) = e x − est croissante sur R
2
ex
2) En déduire que lim = +∞.
x→+∞ x
3) En faisant un changement de variable astucieux démontrer que : lim xe x = 0
x→−∞



Exercice 2
Propriétés, équation et inéquation (3 points)
On justifiera chaque étape des résolutions suivantes.

1) Résoudre dans R, les équations suivantes :
2
a) e x −5 = e−4x b) e x+1 × e3x+5 = 1
2
2) Résoudre dans R, l’inéquation suivante : e7−3x > e2−2x

Exercice 3
Limites - Forme indéterminée. (3 points)
Déterminer les limites suivantes en mettant en évidence les limites de référence utilisées.
1 − ex
a) lim 3xe−x b) lim (x + 1)e x c) lim
x→+∞ x→−∞ x→0 2x


Exercice 4
Dérivées (3 points)
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions f ,g et h suivantes :
3 −x2 3e x
a) f (x) = b) g(x) = x + 1 − 3xe c) h(x) =
1 + e−2x ex − 2

Exercice 5
Exercice bac (8 points)
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x) = e x et g(x) = 1−e−x
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées
respectivement C f et Cg , sont fournies en annexe à rendre avec la copie.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tan-
gentes sur la figure de l’annexe.

Paul Milan 1 Terminale S
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Partie B
Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note D l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d’abs-
cisse a et tangente à la courbe Cg au point B d’abscisse b.

1) a) Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au
point A.
b) Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au
point B.
c) En déduire que b = −a.
2) Démontrer que le réel a est solution de l’équation : 2(x − 1)e x + 1 = 0

Partie C
On considère la fonction ϕ définie sur R par : ϕ(x) = 2(x − 1)e x + 1

1) a) Calculer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞.
b) Calculer la dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ sur R. Préciser la valeur de ϕ(0).
2) a) Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions dans R.
b) On note α la solution négative de l’équation ϕ(x) = 0 et β la solution positive de
cette équation.
Donner une valeur approchée de ϕ(−2) et ϕ(1).
À l’aide de l’algorithme par dichotomie, donner un encadrement de α et β à 10−3 .
On donnera le nombre de boucles nécessaires à ces encadrements.




Paul Milan 2 Terminale S
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Annexe de l’exercice 5
À rendre avec la copie



Prénom :

Nom :




5




4


Cf

3




2




1
Cg


−5 −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 5



−1




−2




−3




Paul Milan 3 Terminale S