Chapitres 5 : la fonction exponentielle 10 décembre 2012




Contrôle de mathématiques
Lundi 10 décembre 2012


Exercice 1
ROC (4 points)
On suppose connu le résultat suivant : pour tout réel x, on a e x > x
x2
1) Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par ϕ(x) = e x − .
2
Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, ϕ(x) > 1.
ex
2) En déduire que lim = +∞.
x→+∞ x
1 1
3) Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = xe− 2 x .
2
a) Étudier la limite de la fonction f en +∞.
b) Étudier les variations de la fonction f , puis dresser son tableau de variations
sur [0 ; +∞[.

Exercice 2
Tangente passant par l’origine (6 points)
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = xe x−1 + 1
→
− → −
 
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, ı ,  .
Partie A : étude de la fonction
1) Déterminer la limite de f en −∞.
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2) Déterminer la limite de f en +∞.
3) On admet que f est dérivable sur R, et on note f ′ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel x : f ′ (x) = (x + 1)e x−1 .
4) Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation sur R.

Partie B : recherche d’une tangente particulière
Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une
tangente à la courbe C au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère.

1) On appelle Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Donner une équation de Ta .
2) Démontrer qu’une tangente à C en un point d’abscisse a strictement positive passe
par l’origine du repère si et seulement si a vérifie l’égalité
1 − a2 ea−1 = 0.
3) Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte
dans l’évaluation.
Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +∞[ de l’équation
1 − x2 e x−1 = 0.

Paul Milan 1 Terminale S
 contrôle de mathématiques


4) Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Exercice 3
Suite (7,5 points)
Partie A
On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par : g(x) = e x − x − 1
1) Étudier les variations de la fonction g.
2) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
3) En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, e x − x > 0.
Partie B
ex − 1
On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par : f (x) = x
e −x
La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal
est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de
l’épreuve.
On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].
1) Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) ∈ [0 ; 1].
2) Soit (D) la droite d’équation y = x.
(1 − x)g(x)
a) Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) − x = .
ex − x
b) Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0 ; 1].
Partie C
1
On considère la suite (un ) définie par : u0 = et un+1 = f (un ), n ∈ N.
2
1) Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant
apparents les traits de construction.
1
2) Montrer que pour tout entier naturel n, 6 un 6 un+1 6 1.
2
3) En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 4
Fonction logistique (2,5 points)
x
3e 4
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x
2 + e4
3
1) Démontrer que f (x) = x
1 + 2 e− 4
2) Étudier les limites en +∞ et −∞.
3) Étudier les variations de f .
Ces fonctions ont été mises en évidence par Pierre François Verhulst (vers 1840)
qui cherchait un modèle d’évolution de population non exponentielle. Le nom de courbe
logistique leur a été donné par Verhulst sans que l’on sache exactement pourquoi. Il
écrit en 1845 dans son ouvrage consacré à ce phénomène : "Nous donnerons le terme de
logistique à cette courbe". L’auteur n’explique pas son choix mais "logistique" a même
racine que logarithme et "logistikos" signifie "calcul" en grec !


Paul Milan 2 Terminale S
 contrôle de mathématiques


ANNEXE
Á rendre avec la copie



Prénom :

Nom :




y

1




O x
1




Paul Milan 3 Terminale S