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Auteur Author: carlin123
Type : Application
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Description 

Numerical Integration

Roger Crawfis
Traducido por: Rosa Garrido J
Cuadratura
• Hablamos en términos de reglas de Cuadratura
– 1. El proceso de hacer algo cuadrado.
– 2. Matemática El proceso de consturir un cuadrado de
área igual a una superficie dada.
– 3. Astronomía Una configuración en cual la posición de
un cuerpo celeste es 90° con respecto a otro cuerpo
celeste, medida a partir de un tercero.

– The American Heritage® Dictionary: Fourth Edition.  2000


7/12/19 OSU/CSE 541 2
Contenido
• Definición de Integrales
• Sumas inferiores y superiores
– Integración de Reimann o Sumas de Reimann
• Datos uniformemente espaciados
– Regla del Trapecio
– Reglas de Simpson
• Datos no uniformemente espaciados
– Fórmulas de la Cuadratura de Gauss_legendre



7/12/19 OSU/CSE 541 3
Motivación
¿Qué reprensenta una integral?
b d b
 f ( x)dx area
a  f ( x)dxdy volume
c a

Definición Básica de una integral: f(x)
b n

 f ( x )dx lim  f ( x )x
a n 
k 1
k



Donde b a
x 
n

suma de altura ancho x
7/12/19 OSU/CSE 541 4
Motivation
• Evaluar el valor de la integral, b
I  f ( x)dx
a
sin hacer el
cálculo analíticamente.
• Es necesario cuando :
– El integrando es muy complicado para integrar
analíticamente.

22  cos(1  x ) 0.5 x
0 1  0.5 x e dx
– El integrando no es precisamente definido por una
ecuación, p.e.,tenemos un conjunto de datos (xi, yi), i = 1,
2, 3, …,n
7/12/19 OSU/CSE 541 5
Teorema de la Integral de Reimann
• La integración es un proceso de suma. Por lo tanto
prácticamente toda aproximación numérica
pueden ser representados por
b n
I  f ( x )dx  wi f ( xi )  Et
a
i 1
en donde wi son los pesos, xi son los puntos
muestreados, y Et es el error de truncación.
• Válido para cualquier función que es continua en
el intervalo cerrado y acotado en el intervalo de
integración.
7/12/19 OSU/CSE 541 6
La Partición de la Integral
• La fórmula de integración numérica más común se
basa en puntos de datos igualmente espaciados.
xn
 f ( x)dx
x0
• Divide [x0 , xn] en n intervalos (n1)

x1 x2 xn
xn
 f ( x) dx  f ( x)  f ( x)     f ( x)
x0
x0 x1 xn 1




7/12/19 OSU/CSE 541 7
Las sumas superiores
• Asuma que f(x)>0 para todo x.
• Si dentro de cada intervalo, podríamos
determinar el valor máximo de la función,
entonces tenemos: xn n 1

 f ( x)  M  x  x 
• Donde x0 i 0
i i 1 i




M i sup  f ( x) : xi  x  xi 1 Supremo


7/12/19 OSU/CSE 541 8
Las sumas superiores
• Graficamente:




x0 x1 x2 x3 x4

7/12/19 OSU/CSE 541 9
Las sumas inferiores
• Igualmente, asuma que f(x)>0 para todo x.
• Si dentro de cada intervalo,
determinariamos el valor mínimo de la
función, entonces tenemos:
xn n 1

f ( x)  m  x
x0 i 0
i i 1  xi 

• Donde
Mínimo
mi inf  f ( x) : xi x xi 1
7/12/19 OSU/CSE 541 10
Las Sumas inferiores
• Graficamente:




x0 x1 x2 x3 x4

7/12/19 OSU/CSE 541 11
Particiones mas finas
• Ahora tenemos un acotamiento de la integral de la
función para algunas particiones (x0,..,xn):
n 1 xn n 1

m  x
i 0
i i 1  xi   f ( x )  M i  xi 1  xi 
i 0
x0


• Cuando n, es de suponer que la suma de los
límites superiores y la suma de los límites inferior
se aproximan entre sí.
• Este es el caso de muchas funciones, y las
llamamos funciones integrables de Riemann.

7/12/19 OSU/CSE 541 12
Limitando la Integral
• Graficamente




x0 x1 x2 x3 x4

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Limitando la Integral
• Reduciendo a la mitad el intervalo:




x0 x3 x5 x7 x9

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Acotando la Integral
• Una vez mas:




x0 x5 x7 x9 x11

7/12/19 OSU/CSE 541 15
Funciones monótonas
• Tenga en cuenta que si una función es
monótonamente creciente (o decreciente), entonces
la suma más baja corresponde a los valores de
partición izquierda, y la suma superior corresponde
a los valores de partición derecha.




x0 x3 x5 x7 x9
7/12/19 OSU/CSE 541 16
Aproximación Polinomial
• En lugar de búsqueda del máximo o mínimo,
reemplazamos f (x) con una función conocida y
simple.
• Dentro de cada intervalo aproximamos f(x) por un
polinomio de grado mth.

pm ( x) a0  a1 x  a2 x 2  ...  am x m



7/12/19 OSU/CSE 541 17
Fórmulas de Newton-Cotes
• El grado ( mi) del polinomio puede ser igual o
diferente denotado por.
xn x0m1 x0m1m2 xn
 f ( x)dx  pm1 ( x)dx   pm2 ( x)dx  ...   pmn ( x)dx
x0 x0 x0 m1 xn mn


• Diferentes grados m dan lugar a diferentes fórmulas:
m Polinomio Fórmula Error
2
1 lineal Trapecio O(h )
4
2 cuadrático Simpson 1/3 O(h )
4
3 cúbico Simpson 3/8 O(h )
7/12/19 OSU/CSE 541 18
Regla del Trapecio
• La más simple forma de aproximar el área debajo
de una curva – usando polinomio de primer
orden (una línea recta)
• Usando el polinomio de Newton interpolante:
f b  f  a 
p1  x   f  a    x  a
b a
• Ahora, resolver la integral:
b b
I  f  x  dx  p1  x  dx
a a


7/12/19 OSU/CSE 541 19
Regla Trapezoidal

b f  b  f  a  
I   f  a    x  a  dx
a
 b a 
Regla Trapezoidal
f(b)
 b  a f(a)
I  f  a   f  b
2


I ancho altura promedio
a b
7/12/19 OSU/CSE 541 20
Regla Trapezoidal
• Es mejor?




x0 x1 x2 x3 x4

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Error del Trapecio
• El error de integración es:
1 (b  a ) 3
Et  
12
3
f   h 
12
f   h 2 O(h )
• Donde h = b - a y  es un punto no conocido
donde a <  < b (teorema del valor medio)

• Conseguimos una integración exacta de la
función, f, si esta es lineal (f = 0).

7/12/19 OSU/CSE 541 ...

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