Formulaire de trigonométrie

Définition des fonctions sinus, cosinus et tangente
• M est un point du cercle trigonométrique.
1 → −−→
−
x est une mesure en radian de l’angle ( i , OM).
M(x) cos(x) est l’abscisse de M, sin(x) est l’ordonnée de M.
b



sin(x)
• Pour tout réel x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
O cos(x) 1




Arcs associés

Tour complet Angle opposé Demi-tour
1 1 1
cos(x + 2π) = cos(x) cos(−x) = cos(x) cos(x + π) = − cos(x)




π
+
x x




x
sin(x + 2π) = sin(x) sin(−x) = − sin(x) x sin(x + π) = − sin(x)
1 −x 1 1




Angle supplémentaire Angle complémentaire Quart de tour direct
1 1 1 x+
π




π
π−x
2




π 2 π
−




 
cos − x = sin(x) cos x + = − sin(x)
x




cos(π − x) = − cos(x)
x x  π2 x 2
π

sin(π − x) = sin(x)

1 1 sin − x = cos(x) 1 sin x + = cos(x)
2 2


• La fonction x 7→ sin(x) est définie sur R, 2π-périodique et impaire.
• La fonction x →
7 cos(x) est définie sur R, 2π-périodique et paire.

Formules d’addition
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)

Formules de duplication
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

Formules de linéarisation
1 + cos(2x) 1 − cos(2x) 1
cos2 (x) = sin2 (x) = sin(x) cos(x) = sin(2x).
2 2 2

Formules de factorisation
x x
1 + cos(x) = 2 cos2 1 − cos(x) = 2 sin2 .
2 2
c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.
1 http ://www.maths-france.fr
Résolution d’équations

 il existe k ∈ Z tel que b = a + 2kπ
• cos(a) = cos(b) si et seulement si ou

il existe k ∈ Z tel que b = −a + 2kπ

 il existe k ∈ Z tel que b = a + 2kπ
• sin(a) = sin(b) si et seulement si ou

il existe k ∈ Z tel que b = π − a + 2kπ




c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.
2 http ://www.maths-france.fr