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SUITES (Partie 1)
I. Raisonnement par récurrence
1) Le principe

C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre,
que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a
probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912).



On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte.
La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber
le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file.
Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les
dominos de la file tombent.




Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un
entier k ≥ n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1.

Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1)
tombe également.

Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation),
- héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité),
alors la propriété P est vraie pour tout entier n ≥ n0.

Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n0 = 1.
L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).
On en déduit que tous les dominos tombent.



Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

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Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre
lorsque toute démonstration "classique" est difficile.

2) Exemples avec les suites

Méthode : Démontrer par récurrence l’expression générale d’une suite

Vidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1 = un + 2n + 3 et
u0 = 1 .
Démontrer par récurrence que : un = ( n + 1) .
2


• Initialisation : à Le premier domino tombe.

u0 = 1 et ( 0 + 1) = 1.
2


La propriété est donc vraie pour n = 0.

• Hérédité :
- Hypothèse de récurrence : à On suppose que le k-ième domino tombe.

Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : uk = ( k + 1) .
2


- Démontrons que : à Le k+1-ième domino tombe-t-il ?

La propriété est vraie au rang k+1 : uk +1 = ( k + 2) .
2




uk +1 = uk + 2k + 3 , par définition
= ( k + 1) + 2k + 3, par hypothèse de récurrence
2


= k 2 + 2k + 1 + 2k + 3
= k 2 + 4k + 4 à Le k+1-ième domino tombe.

= ( k + 2)
2




• Conclusion : à Tous les dominos tombent.
La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : un = ( n + 1) .
2




Méthode : Démontrer la monotonie par récurrence

Vidéo https://youtu.be/nMnLaE2RAGk
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On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1 = un + 2 et
3
u0 = 2 .

Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante.


On démontre que pour tout entier naturel n, on a : un+1 ≥ un

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• Initialisation : u0 = 2
1 1 8
u1 = × u0 + 2 = × 2 + 2 = > 2
3 3 3
donc u0 < u1

• Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : uk < uk +1 .
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : uk +1 < uk + 2 .

1 1 1 1
On a uk < uk +1 donc : uk < uk +1 et donc uk + 2 < uk +1 + 2 soit uk +1 < uk + 2 .
3 3 3 3
• Conclusion :
La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : un < un+1 et donc la suite
(un) est croissante.


3) Inégalité de Bernoulli

Soit un nombre réel a strictement positif.
Démontrons que pour tout entier naturel n, on a : (1 + a ) ≥ 1 + na .
n




Démonstration :
Vidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg

• Initialisation :
- La propriété est vraie pour n = 0.
En effet, (1 + a ) = 1 et 1 + 0 × a = 1
0




• Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : (1 + a ) ≥ 1 + ka
k




- Démontrons que : La propriété est-elle vraie au rang k+1 ?
Démontrons alors que : (1 + a ) ≥ 1 + ( k + 1) a .
k +1




(1 + a ) = (1 + a )(1 + a ) ≥ (1 + a )(1 + ka ) , d'après l'hypothèse de récurrence.
k +1 k


Donc : (1 + a )
k +1
≥ 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + ka + a , car ka 2 ≥ 0 .
Et donc : (1 + a ) ≥ 1 + ( k + 1) a .
k +1




• Conclusion :


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La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n.

Remarque : L'initialisation est indispensable.
En effet, démontrons par exemple que la propriété "2n est divisible par 3" est
héréditaire sans vérifier l'initialisation.
Supposons qu'il existe un entier k tel que 2k est divisible par 3.
2k+1 = 2k x 2 = 3p x 2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence).
= 6p
Donc 2k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est
jamais vraie.



II. Limite finie ou infinie d'une suite
1) Limite infinie

Exemple :
La suite (un) définie sur ℕ par un = n2 a pour limite +∞ .
En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on
souhaite à partir d'un certain rang.
Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle ⎤⎦ a;+∞ ⎡⎣ contient tous les
termes de la suite à partir d'un certain rang.

Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite +∞ si tout intervalle ⎤⎦ a;+∞ ⎡⎣ ,
a réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note :
lim un = +∞
n→+∞

- On dit que la suite (un) admet pour limite −∞ si tout intervalle ⎤⎦ −∞;b ⎡⎣ , b réel,
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim un = −∞
n→+∞




Algorithme permettant de déterminer un rang à Langage naturel
partir duquel une suite croissante de limite infinie Entrée
est supérieure à un nombre réel A : Saisir le réel A

On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et pour Initialisation
Affecter à n la valeur 0
tout entier n, un+1 = 4un . Affecter à u la valeur 2
Cette suite est croissante et admet pour limite +∞ .
Traitement des données
Voici un algorithme écrit en langage naturel : Tant que u < A
Faire
Affecter à n la valeur n + 1
Affecter à u la valeur 4u
En appliquant cet algorithme avec A = 100, on
obtient en sortie n = 3. Sortie
A partir du terme u3, la suite est supérieure à 100. Afficher n

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En langage calculatrice, cela donne :

Vidéos dans la Playlist :
https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCarZdaGUMO7DV35pi1I8zIJZ



TI CASIO




2) Limite finie

Exemple :
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La suite (un) définie sur ℕ* par un = 1 + a pour limite 1.
n2
En effet, les termes de la suite se resserrent autour de 1 à partir d'un certain rang.
Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 1, tous les termes de la suite
appartiennent à cet intervalle à partir d'un certain rang.




Définition : On dit que la suite (un) admet pour limite L si tout intervalle ouvert
contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note :
...