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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: loic599
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 4
Taille Size: 180.77 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 16/05/2019
Mis à jour Updated: 16/05/2019
Uploadeur Uploader: loic599 (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2099011

Description 

France métropolitaine 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé

Partie A

1) f1 (0) = 0 + e0 = 1 et donc C1 passe par le point A(0, 1).
2) Dérivée de f1 . La fonction f1 est dérivable sur R en tant que somme de fonctions dérivables sur R et pour tout
réel x,

f1′ (x) = 1 + (−1) × e−x = 1 − e−x .
Variations de f1 . Soit x un réel.
• Si x < 0, −x > 0 puis e−x > 1 et donc 1 − e−x < 0.
• Si x = 0, e−x = 1 et donc 1 − e−x = 0.
• Si x > 0, −x < 0 puis e−x < 1 et donc 1 − e−x > 0.
En résumé, la fonction f1′ est strictement négative sur ] − ∞, 0[, strictement positive sur ]0, +∞[ et s’annule en 0. On
en déduit que la fonction f1 est strictement décroissante sur ] − ∞, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[.
Limite de f1 en −∞. Pour tout réel x, f1 (x) = e−x (xex + 1).
D’après un théorème de croissances comparées, lim xex = 0 et donc lim (xex + 1) = 1.
x→−∞ x→−∞
D’autre part, lim e−x = lim eX = +∞. En multipliant, on obtient lim f1 (x) = +∞.
x→−∞ X→+∞ x→−∞

Limite de f1 en +∞. lim e−x = lim eX = 0. D’autre part, lim x = +∞. En additionnant, on obtient
x→+∞ X→−∞ x→+∞
lim f1 (x) = +∞.
x→+∞

On peut dresser le tableau de variation de la fonction f1 .

x −∞ 0 +∞
f1′ (x) − 0 +
+∞ +∞
f1
1


Partie B



C1


1 C2
A

C3
C4

→ C6
j D

C15
C60


O −

i 1




1) a) Soit n un entier naturel. La fonction fn est continue et positive sur [0, 1]. Donc, In est l’aire, exprimée en
unités d’aire du domaine du plan compris entre l’axe des abscisses et la courbe Cn d’une part, les droites d’équations
respectives x = 0 et x = 1 d’autre part.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

b) Il semble que cette aire diminue quand n augmente et donc il semble que la suite (In ) soit une suite décroissante.
D’autre part, il semble que l’aire In tende vers l’aire du triangle de sommets de coordonnées respectives (0, 0), (1, 0)
1
et (1, 1) ou encore il semble que In tend vers quand n tend vers +∞.
2
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1,

Z1   Z1
x + e−(n+1)x dx − x + e−nx dx

In+1 − In =
0 0
Z 1   
= x + e−(n+1)x − x + e−nx dx (par linéarité de l’intégrale)
0
Z1 Z1
e−nx
   
= e−(n+1)x − e−nx dx = e−(n+1)x 1 − dx
0 0 e−(n+1)x
Z1  
= e−(n+1)x 1 − e−nx+(n+1)x dx
0
Z1
= e−(n+1)x (1 − ex ) dx.
0

Pour tout réel x de [0, 1], on a ex > 1 et donc 1 − ex 6 0. D’autre part, pour tout réel x de [0, 1], e−(n+1)x > 0. On
en déduit que pour tout réel x de [0, 1], e−(n+1)x (1 − ex ) 6 0.
Par positivité de l’intégrale, on obtient In+1 − In 6 0 et donc In+1 6 In .
Ainsi, la suite (In ) est décroissante et minorée par 0 (car chaque In est une aire). On en déduit que la suite (In ) est
convergente.
3) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Z1 1
x2 e−nx 1 e−n e0
    
−nx
 0
In = x+e dx = + = + − +
0 2 −n 0 2 −n 2 −n
1 1 1
= − + .
2 nen n
1
On sait que lim en = +∞ et donc que lim nen = +∞. En prenant l’inverse, on obtient lim = 0. D’autre
n→+∞ n→+∞ n→+∞ nen
1
part, lim = 0. On en déduit que
n→+∞ n
1 1
lim In = +0+0= .
n→+∞ 2 2

1
lim In = .
n→+∞ 2




http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Asie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé

1) Soit n ∈ N∗ . Puisque la fonction fn est continue et positive sur l’intervalle [0, 1], In est l’aire, exprimée en unités
d’aire, du domaine du plan Dn compris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction fn d’une
part, les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1 d’autre part.
Le graphique suggère que l’aire du domaine Dn converge vers l’aire du carré de sommets les points de coordonnées
(0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) ou encore il semble que la suite (In )n>1 soit convergente de limite 1.
Z1
1
2) I1 = dx = [ln(1 + x)]10 = ln(2) − ln(1) = ln(2).
0 1 + x

I1 = ln(2).

1
3) a) Soit n ∈ N∗ . Pour tout réel x de [0, 1], xn > 0 puis 1 + xn > 1 et donc 6 1 par décroissance de la fonction
1 + xn
1
t 7→ sur ]0, +∞[. On a montré que
t

1
pour tout x de [0, 1] et tout n de N∗ , 6 1.
1 + xn

Z1 Z1 Z1
1
b) Par croissance de l’intégrale, on en déduit que dx 6 1 dx avec 1 dx = 1 × (1 − 0) = 1. Donc,
0 1 + xn 0 0


pour tout n de N∗ , In...

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