FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S


COMPLEXES

M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans CC

Le conjugué de z est : z = x " iy
! !
Module de z : z = z z = x 2 + y 2
!
Forme trigonométrique : z = "(cos# + isin # ) où # = angle (i,OM) [2π]
!
Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle (i,OM) = argument de z)
!
Conjugué de z : z = "e#i$
! ! !
Soient A et B d'affixes zA zB alors AB a pour affixe zB - zA et AB = zB " zA
!
Propriétés des modules
! !
1 1
z =z ; = ; zz' = z z'
z z

Propriétés des arguments
z
! arg z z'= arg z + arg z' [2π] arg ( ) = arg z - arg z' [2π] arg z = "arg z [2# ]
z'

Transformations usuelles
!
! M(z) " M'(z')
soit une transformation telle que

Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t
!
Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω)
!
Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω)

EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS CC
!
Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4ac

"b + # "b " # c "b
si Δ > 0 alors 2 solutions réelles z1 = ; z2 = et z1z2 = ; z1 + z2 =
! !2a 2a a a
b
si Δ = 0 alors 1 solution réelle z0 = "
2a
"b + i "# "b " i "# c "b
si Δ < 0 alors 2 solutions
! complexes z1 = ;!
z2 = et z1z2 = ; z1 + z2 =
2a 2a a a
!
si Δ ≠ 0 alors az 2 + bz + c = a(z " z1 )(z " z2 ) et si Δ = 0 alors az 2 + bz + c = a(z " z0 ) 2
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! !

! !
 IDENTITES REMARQUABLES

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 )

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3 ab2 - b3 a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 )

" n% " n% " n % n(1 n
(a + b) n = a n + $ 'a n(1b + ......+ $ ' a n(k b k + .......+ $ 'ab + b
# 1& # k& # n (1&


SUITES
!
Suites arithmétiques de raison r et premier terme u0 alors un +1 = un + r ou un = u0 + nr

"1°terme" + "dernier"
Somme de n termes consécutifs de la suite = "nbre de termes" •
2
n(n +!1) !
en particulier 1+ 2 + 3 + .........+ n =
2
!
Suites géométriques de raison q et premier terme u0 alors un +1 = q.un ou un = u0q n
!
1" q nombre de termes
Somme de n termes consécutifs de la suite = "1° terme" • avec q ≠ 1
! ! 1- q
1" x n +1
en particulier 1+ x + x 2 + x 3 + .........+ x n = (x ≠ 1)
1" x
!
FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
!
ea a
e 0 = 1 ; e a +b = e a e b ; e a"b = b
; (e a ) b = e ab ; lne = 1 ; ln1 = 0 ; ln ab = ln a + lnb ; ln = ln a " lnb
e b

a x = e x ln a ; ln a x = x ln a ; y = e x " x = ln y
!
LIMITES USUELLES DE FONCTIONS
!
ex ln x
lim ln x = +# lim e x = +# lim e x = 0 lim = +# lim xe x = 0 lim =0
x "+# x "+# x "#$ x "+# x x "$# x "+# x



ex ln x
lim = +# lim =0 lim x n e x = 0 lim x n e$x = 0
x "+# x n x "+# xn ! x "$# x "+#
! ! !
sin x 1# cos x ln(1+ x) e x #1
lim ln x = #$ lim x ln x = 0 lim =1 lim =0 lim = 1 lim =1
!
x "0 x "0 x "0 x x "0 x x "0 x x "0 x




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 DERIVEES PRIMITIVES

f(x) f '(x) f(x) f '(x) f(x) f '(x)
k 0 x 1 xn nxn-1
1 "1 1 "n 1
n " IN x
x x2 xn x n +1 2 x
1
ln x ex ex ax a x ln a
x
!
! ! ! ! ! 1
cos x -sin x sin x cos x tan x
! cos2 x
! ! !
!
Opérations et application des dérivées
" 1 %' (u' !
( u + v)' = u' + v' (k u)' = k u' (u v)' = u' v + u v' $ ' = 2
# u& u ( u )'= 2 u'u

n n"1 " u %' u'v ( uv' u'
(u )'= n u'u $ ' = (v o u)'= u' " v'ou (e u )'= u'e u (ln u)'=
#v& v2 ! ! u

Equation de la tangente à la courbe C f en A(a; f (a)) : y = f '(a)(x " a) + f (a)
! !
! !

CALCUL INTEGRAL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES
!
b x
Si F primitive ce f alors " a
f (t) dt = F(b) # F(a) et si g(x) = " a
f (t) dt alors g'(x) = f (x)

b a
" a
f (t) dt = # " b f (t) dt
! !
c b c
" a
f (t) dt = " a f (t) dt + " b
f (t) dt
!
b b b
$ a
(" f (t) + # g(t))dt = " $ a f (t) dt + # $ a g(t) dt
!
b b b
si a ≤ b et f ≥ 0 alors " a
f (t) dt ≥ 0 ; si a ≤ b et f ≤ g alors a " a
f (t) dt # " a
g(t) dt
!
b
si a " b et m " f " M alors m(b # a) " $ a
f (t) dt " M(b # a)
! !
b b b
Intégration par parties " a
[
u(t)v'(t) dt = u(t) v(t) #
a
] " a
u'(t)v(t) dt
!
Equa diff
b
Les solutions de! y'= ay + b sont des fonctions f (x) = C e ax " où C est un réel
a



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 PROBABILITES

Dénombrements :

n! = 1 x 2 x 3 x … x n avec 0! = 1 et (n+1)! = n! x (n+1)
" n%
Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est noté $ '
# p&

" n % n(n (1)....(n ( p + 1) n! " n% " n % " n % " n (1% " n (1% " n%
$ '= = ; $ '=$ ' ; $ '=$ '+$ ' ; $ '=n
# p& p! p! (n ( p)! # p& # n!
( p& # p& # p (1& # p & # 1&

" n% " n%
Développement (a + b) n = a n + $ 'a n(1b + ...+ $ ' a n(k b k + ...+ b n
! # 1& # k&

Généralités : P(A " B) = P(A) + P(B) # P(A $ B) ; P(A ) = 1# P(A) ; P(%) = 1 ; P(&) = 0
! nombre d'éléments de A "nombre de cas favorables"
En cas d'équiprobabilité P(A) = =
nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles"
!
P(A " B)
Proba de B sachant A : PA (B) = ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B)
P(A)
!


TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE
!
Formules d'addition

cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b

Formules de duplication

cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a sin(2a) = 2sin a cos a

Valeurs remarquables

" " " "
0 "
6 4 3 2
1 2 3
sin 0 1 0
2 2 2 !
! ! ! !
3 2 1
cos 1 0 -1
2 2 2
! ! !
3
tan 0 1 3 n'existe pas 0
3
! ! !

!
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 Produit scalaire

u et v tels que u = OA ; v = OB ; soit " = angle (OA,OB) alors u • v = OA • OB = OA # OB # cos "

si u(x; y) et v(x';y') alors u • v = xx'+ yy'
!
si OB se projette en OH sur OA alors u • v = OA " OH (si les vecteurs sont de même sens)
! u • v = -OA " OH (si sens contraires)

u et v sont orthogonaux " u • v = 0
! A

Al Khashi : a 2 = b 2 + c 2 " 2bc cos Aˆ
! c b
a2 H
Théorème de la médiane : c 2 + b 2 = 2AI 2 +
! 2 I
B C
a
1
Aire du triangle : S = bc sin Aˆ
2
!
a b c
Formule des sinus : = =
sin A sin B sin Cˆ
ˆ ˆ
!
Equation de droite :
!
ax + by + c = 0 équation de D qui admet pour vecteur directeur u (-b;a) et normal (""") v (a;b)



!




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