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Analyse asymptotique
Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence
Soient (u n ) (u n)
et (v n ) (v n)
deux suites de nombres réels. On supposera que (v n ) (v n)
ne s'annule pas à partir d'un certain rang.

On dit que (u n ) (u n)
est dominée par (v n ) (v n)


si la suite
un un
()
( vn ) v n
est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel M M
et un entier n 0 n 0
tel que, pour tout n ≥ n 0 n ≥ n 0
, on a |u n | ≤ M|v n | | u n | ≤ M | v n |
. On note

un = O(v n ).
u n = O(v n).

On dit que (u n ) (u n)
est négligeable devant (v n ) (v n)


si la suite
un un
()
( vn ) v n
tend vers 0. On note

un = o(v n ).
u n = o(v n).

On dit que (u n ) (u n)
est équivalente à (v n ) (v n)


si la suite
un un
()
( vn ) v n
tend vers 1. On note
 un ∼ vn .
u n ∼ v n.

On a u n ∼ v n u n ∼ v n si et seulement si u n − v n = o(v n ) u n − v n = o(v n) si et seulement si
un − v n = o(un )u n − v n = o(u n).
Si deux suites (u n ) (u n) et (v n ) (v n) sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir
d'un certain rang.
Si deux suites (u n ) (u n) et (v n ) (v n) sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si
l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales.

Règles de calcul pour les équivalents : Soient (u n ) (u n)
, (v n ) (v n)
, (x n ) (x n)
et (wn )(w n)
quatre suites :
si u n ∼ v n u n ∼ v n et x n ∼ y n x n ∼ y n, alors u n x n ∼ v n y n u nx n ∼ v ny n.
u v un vn
si u n ∼ v n u n ∼ v n et x n ∼ y n x n ∼ y n, alors x n ∼ yn ∼ .
n n xn yn
p p p
si u n ∼ v n u n ∼ v n et p ∈ ℤ p ∈ Z, alors u n ∼ v n u n ∼ v pn.

Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!

Règles de calcul pour la relation de négligeabilité : Soient (u n ) (u n)
, (v n ) (v n)
et (wn )(w n)
trois suites :
si u n = o(wn ) u n = o(w n) et v n = o(wn ) v n = o(w n), alors αu n + βv n = o(wn )
αu n + βv n = o(w n).
si u n = o(v n ) u n = o(v n) et v n = o(wn ) v n = o(w n), alors u n = o(wn ) u n = o(w n).
si u n = o(wn ) u n = o(w n), alors u n v n = o(wn v n ) u nv n = o(w nv n).

Relation de domination, de négligeabilité, d'équivalence : cas des fonctions
Soient f , g : I → ℝ f, g : I → R
⎯⎯ ¯
et soit a ∈ I a ∈ I
(éventuellement, a = ±∞ a = ± ∞
). On suppose qu'il existe un intervalle ouvert contenant aa
tel que gg
ne s'annule pas.

On dit que f f
est dominée par gg
au voisinage de aa
s'il existe un intervalle ouvert J J
contenant aa
(J J
est de la forme ]A, +∞[ ]A, + ∞[
si a = +∞ a = + ∞
) et un réel M > 0 M > 0
 telle que

∣ f (x) ∣
∀x ∈ J, ∣ ∣ ≤ M.
∣ g(x) ∣

∀x ∈ J, | |
f(x)
g(x)
≤ M.


On note

f =a O(g).
f = aO(g).

On dit que f f
est négligeable devant gg
f f
si la fonction
gg
tend vers 0 en a. On note

f =a o(g).
f = ao(g).

On dit que f f
est équivalente à gg
f f
si la fonction
gg
tend vers 1 en aa
. On note

f ∼a g.
f ∼ ag.

Toutes les propriétés valables pour les suites le restent pour les fonctions.

Développements limités
Soit f f une fonction définie sur un intervalle I I de ℝ R, à valeurs dans ℂ C, et aa est un point de
I I.
On dit que f f
admet un développement limité à l'ordre nn
en aa
s'il existe des complexes a 0 , … , a n a 0, …, a n
tels que

f (a + h) = a0 + a1 h + ⋯ + an hn + o(hn ).

f(a + h) = a 0 + a 1h + ⋯ + a nh n + o(h n).

Unicité : Si f f admet un développement limité à l'ordre nn en aa, celui-ci est unique.
 Existence :

Formule de Taylor-Young : Si f f
est de classe C n C n
, alors f f
admet un développement limité à l'ordre nn
en tout point a ∈ I a ∈ I
donné par

′ f (n) (a) n
f (a + h) = f (a) + f (a)h + ⋯ + h + o(hn ).
n!
f ( n ) (a) n
f(a + h) = f(a) + f ′ (a)h +⋯+ h + o(h n).
n!


Opérations sur les développements limités
Somme : Soient f f
et gg
admettant en aa
des développements limités à l'ordre nn
donnés par

f (a + h) = P(h) + o(h), g(a + h) = Q(h) + o(hn ).

f(a + h) = P(h) + o(h), g(a + h) = Q(h) + o(h n).

Alors f + gf + g
admet un développement limité en aa
à l'ordre nn
donné par

(f + g)(a + h) = (P(h) + Q(h)) + o(hn ).

(f + g)(a + h) = (P(h) + Q(h) ) + o(h n).

Produit : Soient f f
et gg
admettant en aa
des développements limités à l'ordre nn
donnés par

f (a + h) = P(h) + o(h), g(a + h) = Q(h) + o(hn ).

f(a + h) = P(h) + o(h), g(a + h) = Q(h) + o(h n).

Alors f gfg
admet un développement limité en aa
à l'ordre nn
donné par

f g(a + h) = R(h) + o(hn )
 fg(a + h) = R(h) + o(h n)

où R R
est le polynôme obtenu en ne gardant dans le produit PQ PQ
que les termes de degré inférieur ou égal à nn
.
Intégration : Si f f
, continue sur I I
, admet un développement limité à l'ordre nn
en aa
donné par

f (a + h) = a0 + a1 h + ⋯ + an hn + o(hn )

f(a + h) = a 0 + a 1h + ⋯ + a nh n + o(h n)

et si F F
est une primitive de f f
sur I I
, alors F F
admet un développement limité à l'ordre n + 1 n + 1
en aa
donné par
a1 2 an n+1
F(a + h) = F(0) + a0 h + h +⋯+ h + o(hn+1).
2 n+1
a1 an
F(a + h) = F(0) + a 0h + h2 +⋯+ h n + 1 + o(h n + 1).
2 n+1

Développements limités usuels
 x x2 xn
e = 1+x+ +⋯+ + o(x n )
2 n!
x2 (−1)n x 2n
cos x = 1− +⋯+ + o(x 2n+1)
2! (2n)!
x3 (−1)n x 2n+1
sin x = x− +⋯+ + o(x 2n+2)
3! (2n + 1)!
x2 x 2n
cosh x = 1+ +⋯+ + o(x 2n+1)
2! (2n)!
x3 x 2n+1
sinh x = x+ +⋯+ + o(x 2n+2)
3! (2n + 1)!
1
= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o(x n )
1−x
x2 (−1)n+1 n
ln(1 + x) = x − +⋯+ x + o(x n )
2 n
x3 (−1)n 2n+1
arctan(x) = x − +⋯+ x + o(x 2n+1)
3 2n + 1
α(α − 1) 2 α(α − 1) ⋯ (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx + x +⋯+ x + o(x n )
2 n!
x3 2 5
tan(x) = x + + x + o(x 5 ).
3 15
x2 xn
ex = 1+x+ +⋯+ + o(x n)
2 n!
x2 ( − 1) nx 2n
cosx = 1 − +⋯+ + o(x 2n + 1)
...