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Mécanique et statique des fluides parfaits


1. Forces agissant sur une particule fluide


Densité volumique : fv=dFv/dV


2. Pression:


La pression est le rapport d’une force sur une surface. Si on appuie avec la force F
sur un piston enfermant du gaz, on exerce sur la système constitué par le gaz une
pression: P= F/ où  est l’aire de la surface du cylindre


La force de pression statique est toujours normale à la surface. Le vecteur normal

n est unitaire:



n 1  d F   P n dS

dF
 P ; P Pa  N.m  2
dS


F    P n dS


3. Statique des fluides:


Resultante des forces elementaires de pression


dFp,z=P(z)dxdyuz-P(z+dz)dxdyuz etc


 dFp=-grad(P)dV donc fv+fp=ρg-grad(P)=0



 grad P   g
Cette équation gouverne un fluide (liquide ou gaz) au repos.


4. Théorème d'Archimède:
Un corps plongé dans un fluide subit une force qui est la résultante des forces de
pression. Valable pour un corps totalement immergé dans un fluide à l’équilibre. Pour
évaluer cette force, utilisons l'équation de la statique et la définition de la résultante:



F    P n dS

 2



F  FA   g m flu.dep  poids flu.dep.

F  poids flu.dep.
A



5. Statique des liquides:


Un liquide est un fluide considéré comme incompressible. Dans un zone où le
champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme, l'intégration de
l'équation de la statique des fluides:


grad P   g

donne:



P   g z  cst
ou : P2  P1   g  z 1  z 2 
 


z étant l'altitude.


6. Description de l’écoulement d’un fluide


Débit massique Dm=dm/dt et dDm= ρdS.v


Débit volumique DV=dV/dt et dDV=v.dS


7. Bilan de masse


Volume de contrôle = système ouvert


dM=M(t+dt)-M(t)=dme-dms masses entrees/sorties par section d’entree/sortie
pendant dt


Ecoulement stationnaire : dM=0 donc Dm=cte et pour un fluide incompressible
DV=cte


Système fermé coincident : E*(t)=volume de contrôle E+masse qui entre pendant
dt et E*(t+dt)= volume de contrôleE+masse qui sort pendant dt


dG*=G(t+dt)-G(t)+ Gdms – Gdme = dGE+ Gdms – Gdme = Gdms – Gdme en
régime permanent


8. Bilan d’énergie mecanique pour un fluide en écoulement
 3


Ecoulement stationnaire d’un fluide incompressible : conservation du débit
volumique


Entre t et t+dt :


dEm*=dWint+dWext = dW*noncons = dEm,E +Emdms - Emdme = dm[(1/2
vs²+gzs)- (1/2 ve²+gze)]


dW*nc=dWp+dWu+dWdissip = dm[(Pe/ρ – Ps/ρ)]+dWu+dWdissip


dm[(1/2 vs²+gzs+ Ps/ρ)- (1/2 ve²+gze+ Pe/ρ)] = dWu+dWdissip




9. Théorème de Bernoulli


Fluide parfait incompressible en écoulement stationnaire dans un ref galileen muni
d un axe z vertical ascendant soumis qu’aux forces de pression et de pesanteur.



P   g z  1  v 2  cst
2
 4



10. Conséquences du théorème de Bernoulli

 Théorème de Torricelli:




Soit un réservoir muni d'un orifice de petite section à sa base, on montre que:


v  2 gh

 Sonde de Pitot :

On applique la relation de bernouilli : Point d’arret : Pb=P0+1/2ρv0²

Prise latérale : PA=PO

Tubes manometriques : PD=PB=PC+ αgh et PC=PA d’où v0




 Phénomène de Venturi :




 S2 
P2  P1   v  2  1 
1 2  2
2  S 
 1 