Sciences Physiques - Chimie MPSI
Partie 5 : Mécanique 2 - Ch.2 : Mouvement dans un champ de force centrale


Ch.2 Mouvement dans un champ de force centrale conservative :
Cas des satellites et des planètes
I. Qu'est ce qu'une force centrale conservative ?
M
I.1. Définition
Soit O un point fixe de l'espace. Un point M est soumis à une force
centrale conservative si il subit une force dirigée radialement
O (suivant ⃗ u r ) et qui ne dépend que de la distance entre O et M,
notée r. En résumé une force centrale conservative est du type :
Figure 1 : force centrale ⃗
F =F (r ) ⃗
ur (figure 1)
conservative
I.2. Exemples de forces centrales conservatives
• Force gravitationnelle : Soient 2 corps ponctuels A et B, de masses respectives mA et mB,
séparés par la distance r. On sait que le corps A exerce une force gravitationnelle sur le corps
m m m m
B de la forme : ⃗ F A / B =−G A 2 B ⃗u AB =F (r )⃗
u r avec F (r )=−G A 2 B
r r
u⃗ AB=⃗
ur : vecteur unitaire orienté de A vers B
avec :
G=6,67.10−11 N.m 2 . kg −2 : constante de gravitation universelle
• Quelle est l'ODG de la force d'attraction entre 2 masses de 1 kg séparées d'une distance de 1
m ? Commenter.
m A m B ODG −10
F A / B=G = 10 N → entre des corps de masses usuelles, l'interaction
d2
gravitationnelle est très faible.


Remarque importante : La loi de gravitation universelle est valable pour 2 masses ponctuelles.
Cependant, si une des masses n'est pas ponctuelle, mais que sa répartition massique est uniforme sur
une sphère (on dit à symétrie sphérique), alors cette loi reste valable. Par exemple, pour étudier le
mouvement d'un satellite autour de la Terre, on peut décrire la Terre comme une masse ponctuelle
positionnée au centre de la Terre et de masse égale à la masse totale de la Terre.
• Citer 2 autres forces centrales conservatives
La force électrostatique créée par une charge sur une autre charge est une force centrale
conservative.

La force de rappel peut aussi être vue comme une force centrale conservative :
⃗
F r =−k (r−r 0) ⃗
ur

I.3. Propriétés des forces centrales conservatives
Toutes les forces centrales conservatives possèdent des propriétés à connaître.
a. Conservation du moment cinétique
Si un point matériel M de masse m et vitesse ⃗v est soumis à une force centrale (centre O), alors
son moment cinétique ⃗ L 0=⃗
OM ^ ⃗p=⃗OM ^ m⃗v se conserve.

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• Montrer que, pour une force conservative, le moment cinétique se conserve.
d⃗ LO
D'après le théorème du moment cinétique en un point O : =⃗mO (⃗
F)
dt
d⃗LO ⃗
Or : ⃗ mO (⃗
F )=⃗
OM ^ ⃗F = ⃗0 car ⃗OM et ⃗
F colinéaires donc : =0 : conservation du mt
dt
cinétique


• Conséquences (à connaître) :
◦ Planéité du mouvement
Le moment cinétique est : ⃗ L 0=⃗
OM ^ m ⃗v . Il est donc, par définition, orthogonal au déplacement
élémentaire ⃗ dl . Or on vient de voir que le moment cinétique se conserve, donc ⃗ L 0=⃗
cst donc le
point M va être en permanence situé dans un plan perpendiculaire à ⃗ L 0=⃗cst et contenant le point
O, ce qui signifie que :
Un mouvement à force centrale est toujours plan, la trajectoire est contenue dans le plan
perpendiculaire à ⃗ L 0 et contenant le point O.
Pour un tel mouvement, on utilisera systématiquement les coordonnées polaires (r , θ)
◦ Loi des aires
• Montrer que, en coordonnées polaires : ⃗ L 0=mr 2 θ˙ ⃗
uz
En coordonnées polaires : ⃗v = r˙ ⃗
u r +r θ⃗˙ u θ et ⃗ OM =r ⃗ ur
⃗ ⃗
Donc : L 0=OM ^ m ⃗v =m(r ⃗ u r ^( r˙ ⃗ ˙
u r +r θ ⃗
2
u θ))=mr θ⃗ ˙ uz


• A l'aide de la figure 2, montrer que l'aire balayée par le vecteur ⃗ OM entre t et t+dt vaut
1 2 dS
d S= r d θ . En déduire une relation entre la vitesse aréolaire et ∥⃗
L 0∥ .
2 dt
base×hauteur
Rappel : dans un triangle quelconque, l'aire du triangle est : A=
2
Dans le triangle OM(t)M(t+dt) :
base=r et hauteur=(r+dr )sin d θ
r+dr (r ( r+dr )sin d θ)
Donc : d S=
dq 2
r 2
( r d θ)
→ Au premier ordre : d S=
2
Figure 2 : Démonstration de la loi des On en déduit : dS = 1 r 2 θ= ˙
∥ 0∥
⃗
L
aires dt 2 2m


dS
Or on a : ⃗
L 0=⃗
cst donc : ∥⃗
L 0∥=cste =cste
, ce qui donne :
dt
dS C
Enfin on définit la constante des aires : C=r 2 θ=cste
˙ et on a : =
dt 2


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M(t1+Dt1) M(t2) Conclusion : La conservation du moment cinétique
dans le cas d'un mvt à force centrale implique la loi
M(t2+Dt2) des aires : les aires balayées par le vecteur ⃗ OM
pendant des intervalles de temps égaux sont égales et
M(t1) C
valent : A= Δ t avec C : constante des aires.
2
Autrement dit : si Δ t 1=Δ t 2 alors A1= A2
Cette loi a été énoncée dans le cas du mouvement
des planètes autour du Soleil par Johannes Kepler.
Figure 3 : Loi des aires C'est la 2éme loi de Kepler – figure 3.

b. Énergie potentielle et énergie potentielle effective
• Énergie potentielle d'une force centrale
On sait que le travail élémentaire d'une force est : δ W =⃗ F .⃗
dl
⃗
Or, ici : ⃗ u r et, en coordonnées polaires : dl=dr ⃗
F =F (r ) ⃗ u r +r d θ ⃗
u θ donc : δ W =F (r )dr
Ensuite on a vu qu'une énergie pote...