Mathématiques financières – 2CACG/GP Intervenant : S. Lagorce



Mathématiques financières
Contrôle n°2 – Durée : 1,5 heure

Supports de cours et calculatrice tous types autorisée.


Thème 1 : Actualisation et Capitalisation (5 points)

Exercice 1 (4 points) :
Le jour de votre naissance la Caisse d’Epargne a proposé à vos parents de déposer sur votre compte
une somme de 10 euros. Cette somme est productrice d’intérêts mais on suppose qu’elle n’a pu être
retirée que le jour de votre majorité.
La somme est placée au taux de 3%
1. De combien disposerez-vous à votre majorité ?
10*(1,03)18 = 17,02 € (1 point)
Mais tout n’est pas si simple… Les taux de la caisse d’épargne varient et nous allons supposer que
durant ces dix-huit ans, ils ont été :
- de 3% durant les années 1 à 4,
- de 3,25% durant les années 5 à 8,
- de 2,75% durant les années 9 à 12,
- de 2,5% durant les années 13 à 16,
- de 3% durant les années 17 et 18.
2. Quelle est la valeur retirée à la majorité ?

10*(1,03)4*(1,0325)4*(1,0275)4*(1,025)4*(1,03)2 = 16,70 € (2 points)
3. Vous auriez souhaité disposer de 18,05 € à votre majorité. Combien vos parents auraient-ils
dû placer au taux d’intérêt de 3% ?

X*(1,03)18 = 18,05 € => X = 10,60 € (1 point)

Exercice 2 (1 point) :
L’entreprise ALOPEC dispose d’une action qui procure un dividende annuel constant et perpétuel de
2,10 euros. Le taux d’actualisation à retenir est de 6%.
Déterminez la valeur actuelle de cette série de flux.
Va = Flux (1 – (1+i)-n) / i si n tend vers l’infini, Va = Flux 1/i
D’où Va = 2,10/0,06 = 35€ (1 point)




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Thème 2 : Emprunts obligataires (6 points)

Exercice 1 (2 points) :
Soit une obligation de nominal 2 000 €, au taux nominal 6%, émise au pair et remboursée au pair in
fine dans 6 ans.
Une première personne achète cette obligation à l’émission pour la revendre à une seconde personne
après paiement du 4ème coupon quand le taux du marché est à 8%.
Déterminer les valeurs d’échange et la cotation de l’obligation à chaque achat.
Au 1er achat, l’obligation est à sa valeur d’émission soit 2 000 €, sa cotation est donc de 100%. (1 point)
Au moment du 2ème achat, la valeur d’échange de l’obligation est de 120(1,08)-1 + 2 120(1,08)-2 =
1 928,67 €.
è Sa cotation est de 1 928,67 / 2 000 = 96,43 % (1 point)

Exercice n°2 (4 points) :
Soit un emprunt de 1 500 obligations de nominal 100 € au taux nominal de 5%, émises à 96 € et
remboursées à 108 €. Cet emprunt est remboursé par amortissement constant en 5 ans.
1. Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt.

Capital restant
Intérêts Amortissements Prime Obligations Annuité
2 points dû
1 150 000 7 500 30 000 2 400 300 39 900
2 120 000 6 000 30 000 2 400 300 38 400
3 90 000 4 500 30 000 2 400 300 36 900
4 60 000 3 000 30 000 2 400 300 35 400
5 30 000 1 500 30 000 2 400 300 33 900
2. Indiquez l’équation qui permet de retrouver le taux actuariel de cet emprunt pour
l’entreprise.
1 500*96 = 39 900*(1+i)-1 + 38 400*(1+i)-2 + 36 900*(1+i)-3 + 35 400*(1+i)-4 + 33 900(1+i)-5 (1 point)
3. Déterminer le taux de rendement actuariel pour un souscripteur dont l’obligation est
remboursée au premier tirage.
Une obligation remboursée au 1er tirage est acquise 96 € pour être remboursée à 108 € avec un coupon
de 5 €. Le taux de rendement de cet investissement est donné par :
96 = (108 + 5) / (1+i) ,
ainsi 1 + i = 113/96
ð i = 113/96 – 1 = 17,71% (1 point)




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Thème 3 : Choix d’investissement (9 points)

La société MELANIE envisage d’acquérir un matériel pour faire face à une croissance annoncée. La
rentabilité actuelle que la société espère de ses investissements sur la base des flux nets de trésorerie
est de 9%. Pour l’aider à statuer sur la pertinence de cette décision, vous disposez des éléments ci-
après.
Prix d’acquisition HT 5 000 euros
Amortissement Linéaire sur 5 ans
Charges d’entretien et réparations 3 000 par an
Cession du matériel au bout de 5 ans HT 1 000
Taux d’impôt sur les sociétés 33,1/3%
Besoin en BFRE Récupéré à l’issue de la 5ème année
L’investissement permettra de réaliser un chiffre d’affaires HT de 9 000 euros fin N-1 puis en
augmentation de 1 000 euros par an sur 5 ans.
Les charges d’exploitation hors dotations aux amortissements s’élèvent à 62% du CA HT.
Le besoin en fonds de roulement d’exploitation (BFRE) est égal à 45 jours de CA HT.
1. Sur le tableau présenté sur la grille de réponse, renseignez chaque ligne en justifiant vos
calculs. (Arrondir vos calculs à l’euro)

Eléments 0 1 2 3 4 5
Chiffre d'affaires HT 0,5 point 10 000 11 000 12 000 13 000 14 000

Charges d'exploitation 0,5 point - 6 200 - 6 820 - 7 440 - 8 060 - 8 680
Charges d'entretien et 0,5 point - 3 000 - 3 000 - 3 000 - 3 000 - 3 000
réparations
Dotations aux amortissements 0,5 point - 1 000 - 1 000 - 1 000 - 1 000 - 1 000
Résultat d'exploitation
- 200 180 560 940 1 320
avant impôt
Impôt sur les sociétés (ou
économie d'impôt)
0,5 point 67 - 60 - 187 - 313 - 440
Résultat net d'exploitation
- 133 120 373 627 880
après impôt
Dotations aux amortissements 0,5 point 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Prix de cession 0,5 point 1 000

Impôt sur la PV à court terme 0,5 point - 333

Prix d'acquisition 0,5 point - 5 000

Variation du BFRE - 1 125 - 125 - 125 - 125 - 125
Récupération du BFRE 0,5
1 750
point
FLUX NETS DE TRESORERIE - 6 125 742 995 1 248 1 502 4 297
Taux d'actualisation 9%
Flux nets de trésorerie
- 6 125 680 837 964 1 064 2 793
actualisés


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2. Justifiez le montant de la variation du BFRE.
BFRE = 45/360*9 000 = 1 125
puis Variation BRFE = Variation CA*45/360 (1 point)
3. En déduire la Valeur Actuelle Nette du projet
VAN = 213 €
è Le projet est rentable. (1 point)
4. Calculez l’indice de profitabilité du projet
Ip = 6 338/ 6 125 = 1,035 (1 point)
5. Calculez le délai de récupération du capital investi avec et sans actualisation.

Flux nets cumulés sans actualisation 742 1 737 2 985 4 487 8 783
Flux nets cumulés avec actualisation 680 1 518 2 482 3 546 6 338

DRCI = 4 ans sans actualisation
DRCI = 5 ans avec actualisation
(1 point)




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