TABLE DES MATIÈRES 1


Table des matières
1 Rappels et fondamentaux 2
1.1 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Structure du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Structure du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Electrostatique 3
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Distribution de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Circulation du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 Les Conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 Les Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7.1 Association de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.8 Energie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.8.1 Energie potentielle d'intéraction pour des charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . 5
2.8.2 Energie potentielle d'intéraction pour des distributions continues de charges . . . . 6
2.9 Equations locales de l'électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10 Electrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10.1 Vecteur densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10.2 Intensité du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10.3 Conservation de la charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10.4 Régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10.5 Résistance (Conducteur Ohmiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Magnétostatique 8
3.1 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 cas d'une distribution volumique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Propriété du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1 Le champ magnétique est à ux conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2 Théorème D'ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Le Potentiel Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 Equation du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Expression du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Travail des forces de laplace, énergie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4.1 Théorème de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4.2 Action subie par un dipole magnétique plongé dans un champ magnétique . . . . . 10
3.5 Coecients d'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5.1 Coecient d'induction mutuelle de deux circuits liformes . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5.2 Cas de n circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5.3 Coecient d'auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 TABLE DES MATIÈRES


4 Magnétique 11
4.1 Loi De Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Force électromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.1 Champ Electromoteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.2 Force électromotrice induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3.1 Théorème de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Coecients d'Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4.1 Flux Du Champ Magnétique B1 créé par C1 à travers C2 . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4.2 Flux Du Champ Magnétique B2 créé par C2 à travers C1 . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.3 Coecient D'Auto-Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.4 Généralisation à n circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5 Énergie Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5.1 Loi D'Ohm Généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5.2 Énergie Magnétique D'Un Circuit Isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5.3 Énergie Magnétique De Deux Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5.4 Autres expressions pour un seul circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.6 Opérateurs Diérentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.7 Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.8 Ondes Électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.8.1 Équations aux champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.8.2 Structure de l'onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.8.3 Théorème de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 RAPPELS ET FONDAMENTAUX 3


1 Rappels et fondamentaux
1.1 Théorème de Gauss
a) Forme intégrée


"
→
− −→ Q
E .dS = (1.1)
Σg ε0


b) Forme locale


− →
→ − ρ
∇· E = (1.2)
ε0

1.2 Structure du champ électrostatique
c) Forme intégrée


˛
→
− →−
E . dl = 0 (1.3)
Γ



d) Forme locale


→
− →
−
E = − ∇ (V ) (1.4)


1.3 Théorème d'Ampère
e) Forme intégrée


˛
→
− →−
B . dl = µ0 .I (1.5)
C



f) Forme locale


− →
→ − →
−
∇ ∧ B = µ0 . j (1.6)


1.4 Structure du champ magnétique
g) Forme intégrée


¨
→
− −→
B .dS = 0 (1.7)
4


h) Forme locale


→
−
∇ · (B) = 0 (1.8)


2 Electrostatique
2.1 Loi de Coulomb

−−→ 1 q1 q2
F1/2 = u
ˆ12 (2.1)
4πε0 r2
1
= 9.109 SI
4πε0

2.2 Distribution de charges
 Distribution volumique


dq = ρ dV (2.2a)
˚
Q= ρ dV (2.2b)
V

 Distribution surfacique


dq = σ dS (2.3a)
¨
Q= σ dS (2.3b)
S

 Distribution Linéique


dq = λ dl (2.4a)
ˆ
Q= λ dl (2.4b)
L



2.3 Circulation du champ électrique

→
− −−→
dC = E (M ).dM (2.5)
→
−
La circulation de E ne dépend que des points A et B, et ne dépend donc pas du chemin suivi. On
pose dC = − dV

→
− →
−
E = − ∇ (V ) (2.6)
1 q
V = + constante (2.7)
4πε0 r

−
→ →
−
Fe = q 0 . E (2.8)
→
−
= − ∇ (q 0 V ) (2.9)
→
−
= −U (2.10)
2 ELECTROSTATIQUE 5


la force électrostatique dérive d'une énergie potentielle.


U = q 0 .V (2.11)
1 qq 0
= (2.12)
4πε0 r

ˆ B
−  −−→
→
WAB = − ∇ U.dM (2.13)
A

= UA − UB (2.14)

Flux électrostatique :

→
− −→
dφ = E .dS (2.15)
q
dφ = dΩ (2.16)
4πε0
où dΩ est l'angle solide sous lequel on voit la surface dS


2.4 Théorème de Gauss
" ˝
→
− −→ ρ dV
E .dS = V
(2.17)
Σg ε0


2.5 Dipôle
Moment dipolaire (unité C.m) :

→
− −−→
P = qN P (2.18)

Potentiel du dipole :


p cos(θ)
V (M ) = (2.19)
4πε0 r2
Moment des forces :

−
→ → − → −
Γ0 = P ∧ E (2.20)

Résultante des forces :

→
− →
− → − →
−
R = ( p . ∇ ()) E (2.21)

Cas où le système n'est pas neutre : i qi 6= 0
P

P En première approximation, le système est équivalent à une charge ponctuelle placée en 0 et de valeur
q
i i
Cas où le système est neutre : i qi = 0
P

Le système est équivalent à un dipole, de moment dipolaire :

→
− X → −
P = qi . ai (2.22)
i
6 2.6 Les Conducteurs


2.6 Les Conducteurs

→
− →
−
E intérieur = 0 (2.23)

D'où :


Vint = cte (2.24)
ρint = cte
(2.25)

i) Théorème de Coulomb


→
− σ
E = (2.26)
ε0

j) Pression électrostatique


σ2
P = (2.27)
2ε0

2.7 Les Condensateurs
Les faces en regard ont des charges opposées (inuence totale). La charge Q1 (charge de l'armature
interne) est appelée charge du condensateur.


Q1 = C(V1 − V2 ) (2.28)

2.7.1 Association de condensateurs
a) En série


1 1 1
= + (2.29)
C C1 C2

b) En parallèle


C = C1 + C2 (2.30)


2.8 Energie électrostatique
2.8.1 Energie potentielle d'intéraction pour des charges ponctuelles
a) Pour une charge ponctuelle dans un potentiel V


Up = qV (2.31)
2 ELECTROSTATIQUE 7


b) Cas de deux charges ponctuelles


1
Up = (q1 V2 + q2 V1 ) (2.32)
2

c) Plusieurs charges ponctuelles


n
1 X
Up = ( qi Vi ) (2.33)
2 i=1

Avec Vi potentiel créé par les utres charges au point où se trouve qi :


1 X qj
Vi = (2.34)
4πε0 j6=i rij


2.8.2 Energie potentielle d'intéraction pour des distributions continues de charges

a) Répartition volumique de charges


˚
1
Up = ρ(M )V (M ) dV (2.35)
2 objet



b) Répartition surfacique de charges


¨
1
Up = σ(M )V (M ) dS (2.36)
2 surface


c) exemple d'application : la sphère chargée

On a :