MP / PSI Cours : DYNAMIQUE DES SOLIDES CPGE MARRAKECH




DYNAMIQUE DES SOLIDES
1. Matrice d’inertie d’un solide :
Soit S un solide indéformable de masse m.
On définit le repère R(O, x, y, z ) lié au solide (S).
Soit P un point courant de (S) autour duquel on étudiera l'effet de
la répartition de masse dm, tels que : OP  x. x  y. y  z .z .
On appel matrice d’inertie du solide S au point O dans le repère R la matrice :

 A F  E 
 
I (O , S )  I O ( S )    F B D 
 E  D C ( x , y ,z )


Avec : A  
PS
( y 2  z 2 ).dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe (O, x ) .

B 
PS
( x 2  z 2 ).dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe (O, y ) .

C 
PS
( x 2  y 2 ).dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe (O, z ) .

D 
PS
y .z .dm : Produit d’inertie par rapport au plan (O, y, z ) .

E 
PS
x .z .dm : Produit d’inertie par rapport au plan (O, x, z ) .

F 
PS
x . y .dm : Produit d’inertie par rapport au plan (O, x, y ) .

Remarque : Au concours les calculs des éléments de la matrice d’inertie par les formules ci-dessus ne
donnent pas lieu à évaluation (ils sont donnés en fait). Seule la relation entre la forme de la matrice
d’inertie et la géométrie de la pièce est exigible.
Base principale d’inertie : on appelle base principale d’inertie une base dans laquelle la matrice d’inertie
est diagonale (on devrait plutôt parler de repère).
Axe principal d’inertie : on appelle axe principal d’inertie un axe de coordonnées tel que les produits
d’inertie contenant la lettre de cet axe sont nuls.
2. changement de base d’une matrice d’inertie :
 A F  E 
 
Soit la matrice d’inertie du solide S exprimée au point O et dans la base B : I (O , S )   F B  D  pour
 E D C 
 B
l’exprimer dans une autre base B1, on définit une matrice de passage de B vers B1 de la manière suivante :
 cos  sin  0
 
P ( B  B1)   sin  cos 0
 0 1 
 0


IO ( S )B1   P ( B  B1)T . I O ( S )B  . P ( B  B1)
 


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3. Théorème de Huygens : Exprimer la matrice d’inertie en un autre point
QG  a. x  b. y  c.z
 yG 2  zG 2  xG . yG  xG .zG 
 
I (Q , S )  I (G , S )  m .   xG . yG xG 2  zG 2  yG .zG 
  xG .zG  yG .zG yG 2  xG 2 
 ( x , y ,z )




Théorème de Huygens pour le moment par rapport à un axe  :
On a directement avec le théorème de Huygens : I ( A, S / )  I (G , S / G )  m.d 2
Avec G est l’axe parallèle à  passant par G, d est la distance entre les deux axes et m est la masse du
solide S.
4. Symétries matérielles du solide S :
 Cas 1 : Le solide S possède un plan de symétrie:
- Le plan de symétrie est le plan (O, x, y ) La matrice aura la forme suivante :
 A F 0
 
I (O , S )  I O ( S )    F B 0
 0 C ( x , y ,z )
 0


- Le plan de symétrie est le plan (O, x, z ) La matrice aura la forme suivante :
 A 0 E 
 
I (O , S )  I O ( S )   0 B 0 
 E 0 C ( x , y ,z )

- Le plan de symétrie est le plan (O, y, z ) La matrice aura la forme suivante :
A 0 0 
 
I (O , S )  I O ( S )   0 B  D 
 0 D C 
 ( x , y , z )
 Cas 2 : Le solide S possède un axe de symétrie:
- L’axe de symétrie est l’axe (O, x ) La matrice aura la forme suivante :
A 0 0
 
I (O , S )  I O ( S )   0 B 0 
 0 0 B
 ( x , y , z )
- L’axe de symétrie est l’axe (O, z ) La matrice aura la forme suivante :
A 0 0
 
I (O , S )  I O ( S )   0 A 0 
0 0 C
 ( x , y , z )
- L’axe de symétrie est l’axe (O, y ) La matrice aura la forme suivante :
A 0 0
 
I (O , S )  I O ( S )   0 B 0
0 0 A ( x , y ,z )


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5. Matrice d’inertie d’un système de solides :
la matrice d’inertie d’un ensemble de solides E constitué de n solides Si au point A dans le base B( x, y, z )
n
est I ( A, E )   I ( A, S )
i 1
i




6. Moments d’inertie d’un solide par rapport à un axe quelconque
Soit un solide S de masse m
Soit un axe (  ) définit par le point A et le vecteur unitaire u .
Connaissons la matrice d’inertie au point A de S, le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (  )
est le scalaire positif : I ( A, S ) /   u. I ( A, S ).u
Application 1 :
 Déterminer la matrice d’inertie en G puis en O du cylindre plein de masse m, de rayon R et hauteur
h, d'axe (G , z ) :
 Déterminer la matrice d'inertie en G puis en O d'un parallélépipède de masse m, de côtés a, b et c :




Application 2 : ( CCP 2007 PSI)
On modélisera le parc échelle par un assemblage de trois plaques rectangulaires homogènes d’épaisseur
négligeable, de longueur L et de largeur h.
Chaque plaque a une masse notée m.
Déterminer la matrice d’inertie de ce
Parc échelle au point O.




Application 3 : lanceur spécial Ariane 5
l'étage principal (solide S1) est assimilé à un cylindre homogène de masse M, de longueur L et de rayon R,
chacun des deux étages d'accélération à poudre (solide S2 et solide S3) est assimilé à un cylindre creux et
homogène de masse m, de longueur l, de rayon intérieur ri et de rayon extérieur re.
Q.1. Donner la forme des matrices d'inertie des solides 1, 2 et 3 exprimées dans la base ( x, y, z ) et à leurs centres
de gravité respectifs.
Q.2. Déterminer la masse totale du lanceur Mt et la position dans le repère R du centre d'inertie OGt de l'ensemble
du lanceur constitué des solides 1, 2 et 3.
Q.3. Déterminer la matrice d'inertie de l'ensemble du lanceur exprimée dans la base ( x, y, z ) et au point Gt.




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5. Torseur cinétique :
Le torseur cinétique ou torseur de quantité de mouvement d’un solide S (de masse m et de centre d’inertie
G) par rapport à un repère R est :

 RC ( S / R)  
  V ( M  S / R).dm
 
m .V (G / R) 

C ( S / R)   MS
  
 ( A, S / R)   AM  V ( M  S / R).dm  m . AG  V ( A S / R )  I ( A, S ).( S / R ) 
A 
A MS 



RC ( S / R) : S’appelle résultante cinétique de S dans son mouvement par rapport à R.
 ( A, S / R) : S’appelle moment cinétique de S dans son mouvement par rapport à R.

Changement de point :  ( A, S / R)   ( B, S / R)  m. AB  V (G / R)

Cas particuliers :
Cas 1 : si A=G ,  ( A, S / R) =  (G , S / R) = I (G , S ).( S / R)
Cas 2 : Si le point A est fixe dans le mouvement de S/R alors :  ( A, S / R) = I ( A, S ).( S / R)
Cas 3 : si S est en translation seul par rapport à R alors :  ( A, S / R) = m. AG  V ( A S / R)


Système de solides : Soit E un ensemble de n solides Si de masse mi et de centre Gi (avec G et m respectivement
n n
centre d’inertie et masse de E  ( A, E / R)   ( A, Si / R) et m.V (G , E / R)   mi .V (Gi , Si / R)
i 1 i 1

6. Torseur Dynamique :
Le torseur Dynamique ou torseur de quantité d’accélération d’un solide S (de masse m et de centre
d’inertie G) par rapport à un repère R est :

 RD ( S / R)  
  ( M  S / R).dm

m .(G / R)



 D( S / R)   MS
  d ( ( A, S / R)  
 ( A, S / R)   AM  ( M  S / R).dm     m .V ( A  S / R)  V (G / R)
A MS  A
dt R 


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RD ( S / R) : S’appelle résultante Dynamique de S dans son mouvement par rapport à R.
 ( A, S / R) : S’appelle moment Dynamique de S dans son mouvement par rapport à R.

Changement de point :


Cas particuliers :
d ( (G , S / R) 
Cas 1 : si A=G ,  ( A, S / R) =  (G , S / R) = 
dt R
d ( ( A, S / R) 
Cas 2 : Si le point A est fixe dans le mouvement de S/R alors :  ( A, S / R) = 
dt R
d ( ( A, S / R) 
Cas 3 : si S est en translation seul par rapport à R alors :  ( A, S / R) = 
dt R
Système de solides : Soit E un ensemble de n solides Si de masse mi et de centre Gi (avec G et m respectivement
n n
centre d’inertie et masse de E )  ( A, E / R)   ( A, Si / R)
i 1
et m .(G , E / R)   m .(G , S
i 1
i i i / R)


Application :
Un pendule double est constitué de 2 tiges identiques 1 et 2
homogènes, de masse m , de longueur 2a , oscillant dans le plan
vertical (O, x0 , y0 ) du repère R0 (O, x0 , y0 , z0 ) qui est un
repère lié au bâti 0.
La tige 1, d’extrémités O et A, est en liaison pivot d’axe (O, z0 )
avec le bâti 0.
On note R1(O, x1 , y1 , z0 ) un repère lié à la tige1 tel que

  ( x0 , x1 )  ( y0 , y1 ) et OA  2a . x1
La tige 2, d’extrémités A et B, est en liaison pivot d’axe ( A, z0 )
avec la tige 1.
Soit R2 (O, x2 , y2 , z0 ) un repère lié à la tige 1 tel que
  ( x1 , x2 )  ( y1 , y2 ) et AB  2a . x2 .
On note G le centre d’inertie de la tige 2 situé au milieu du
segment AB.
1- Déterminer le torseur cinétique exprimé au point A de la
tige 2 dans son mouvement par rapport au bâti 0.
2- Déterminer le torseur dynamique exprimé au point A de
la tige 2 dans son mouvement par rapport au bâti 0.
3- Déterminer le moment dynamique exprimé au point O
de l’ensemble des deux tiges 1 et 2 dans leur
mouvement par rapport au repère 0.




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Figure 2
Figure 1




Exercice 1 (DS COMMUN SII DU 26/11/2011)




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Le ROBOT 5 axes représenté ci-dessus est un
robot industriel utilisé pour la manutention de
pièces lourdes.
- Axe1 : rotation de fut 1
- Axe2 : rotation du bras 2
- Axe3 : rotation de l’avant-bras 3
- Axe4 : rotation du poignet 4
- Axe5 : rotation de la pince 5




Figure 3




Remarques importantes :

- pour tout le problème on se place dans le cas de retournement ( 2  3   / 2 et 1 ,  4 et  5 sont
variables )
- On note O  O4  O5 et x  x1  x2  x3  x4
- y1  y 3   z 2 et y 2  z1  z 3
- O0O1  d .z0 ; O1O2  e. y1 ; O2O3  l. y2 ; O3O  h1. y3
Caractéristiques des solides :

Bâti (0) : lié au repère galiléen R(O0 , x0 , y0 , z0 )

Poignet(4) :- de masse m4 ,

- de centre d’inertie G4 OG4  l4 . y 4 ,

 A4 0 0 
 
- Matrice d’inertie I (O, 4)   0 B4  D4  ,
0  D4 C4  R
 4




Pince (5) :- de masse m5 ,

- de centre d’inertie G5 OG5  l5 . y 5 ,




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 A5  F5  E5 
 
- Matrice d’inertie I (G5 ,5)    F5 B5  D5  ,
 E  D5 C5  R
 5 5




Actionneurs :


0 

Le motoréducteur M 34 exerce sur (4) le couple suivant : M 34  4   

 m4 
C x 


0 

Le motoréducteur M 45 exerce sur (5) le couple suivant : M 45  5   
