Exercice 1
Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la
partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique .
Partie A
Dans cet exercice , on note  une constante réelle appartenant à l’intervalle [0; 2 ] et on considère les
fonctions f et g , définies sur l’ensemble R des nombres réels , telles que :
 Pour tout nombre réel t , f (t )  1
 La fonction g est périodique de période 2 et :
 g (t )  0 si 0  t  

 g (t )  1 si   t  2
Pour tout nombre réel t , on pose : h(t )  f (t )  g (t )
La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal .
1. les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées sur le document réponse n°1.
( figure 1 et 2 ).
Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonction h .
2. On admet que la fonction h est périodique de période 2 .
Pour tout nombre réel t , on définit la série de Fourier S (t ) associée à la fonction h par

S (t )  a0    an cos  nt   bn sin  nt  
n 1
a) Déterminer a0 .
b) Soit n un entier supérieur ou égal à 1

Calculer 0 cos  nt  dt
1
En déduire que an  sin  n 
n
c) Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1,
bn 
1
n
1  cos  nt   .
3. Soit n un entier supérieur .On associe à n le nombre réel A n tel que :
 A0  a0
an2  bn2
 An  si n est un entier supérieur ou égal à 1
2
1
Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1, on a An  1  cos  n  .
n
π
On suppose pour toute la suite de l’exercice , que τ =
4
4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 105 près.
1 2 2
 
2 0
2
5. La valeur efficace heff de la fonction h est telle que : heff  h (t ) dt
2
a) Calculer heff .
3
b) Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre réel P défini par P   A2n
4

n 0
P
c) Calculer une valeur approchée à 102 près du quotient 2
.
heff
Partie B

On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
2
 3
On considère la fonction de transfert H définie, pour tout nombre complexe p différent de  ,par :
2
3
H ( p)  .
2p 3
On définit la fonction r , pour tout nombre réel positif  par :
r    H  j  .
Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté k , obtenu en filtrant la
Perturbation h au moyen d’un filtre dont la fonction de transfert est H .
3
1. Montrer que r    .
9  4 2
2. Pour tout nombre entier naturel n , on définit le nombre réel positif B n par :
B n  r  n   An ,
Où A n est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A.
Compléter le tableau 2 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 105 près.
Le spectre d’amplitude du signal filtré k est donné par la suite des nombres réels B n
3. La figure 4 sur le document réponse n°2 donne le spectre d’amplitude de la perturbation h
C’et-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels A n
Sur la figure 5 du document réponse n°2, on a commencé de même à représenter la suite des nombres B n
Compléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs n°2 du document réponse n°2.
4. Une valeur approchée à 10 4 près du carré de la valeur efficace du signal k est keff
2
 0, 0516
3
a) Calculer une valeur approchée à 10 4 près du nombre Q défini par Q   Bn2 .
n 0
Q
b) Calculer une valeur approchée à 102 près du quotient : 2
.
keff
On a étudié le spectre de Fourier d’une perturbation d’un signal . On ne peut pas négliger les raies
de hautes fréquences de ce spectre . Le filtrage dissipe une part importante de l’énergie de la
perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables

Exercice2
On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonction y de la variable réelle t ,
solution de l’équation différentielle :
y "(t )  4 y(t )  e(t ) (1)
où la fonction e représente une contrainte extérieure au système.
Partie A
Dans cette partie , on suppose que e(t )  20
L’équation différentielle (1) s’écrit alors sous la forme :
y "(t )  4 y(t )  20 (2)
1. Déterminer la fonction constante h solution particulière de l’équation différentielle (2) .
2. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (2) .
3. En déduire l’expression de la fonction f solution de l’équation différentielle (2) qui vérifie les
conditions f (0)  0 et f '(0)  0 .
Partie B
Dans cette partie , on étudie un moyen d’amener le système vers un état d’équilibre de manière « lisse ».
A cette fin, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction e définie par :
e(t )  8tU (t )  8(t   )U (t )
Où  désigne un nombre réel strictement positif.
On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :
 U (t )  0 si t  0

U (t )  1 si t  0
Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]  ;0[ .
On appelle g la fonction causale telle que g "(t )  4 g (t )  e(t ) .
Et vérifiant :
g (0)  0 et g '(0)  0 .
On note G( p) la transformée de Laplace de la fonction g et E ( p) la transformée de Laplace de
la fonction e .
1. Exprimer E ( p) en fonction de p et de  .
2. En déduire que :
G ( p)  2 2
8
p ( p  4)
 
1  e p .

3. Déterminer les constantes réelles A et B telles que :
8 A B
 2 2 .
p ( p  4) p
2 2
p 4
8
4. Déterminer alors l’original de 2 2 .
p ( p  4)
5. En déduire que, pour tout nombre réel t :
g (t )  g0 (t )  g0 (t   ) avec g0 (t )   2t  sin(2t ) U (t )
6. Montrer que pour t   , on a :
g (t )  2  sin(2t )  sin(2t  2 ) .
7. On suppose maintenant   
a) Simplifier l’expression de g (t ) pour t   .
b) La courbe représentative de la fonction e , pour    , est tracée sur la figure du document
réponse n°3.
Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction g
 Document réponse n°1 , à rendre avec la copie (exercice 1)

Figure 1 : courbe représentative de la fonction f

y




1




-2 -1 0 1 2 3 4 5 x



-1


Figure 2 : courbe représentative de la fonction g

y


1




-7 /3 -2 -5 /3-4 /3 - -2 /3 - /3 0 /3 2 /3 4 /3 5 /3 2 7 /3 8 /3 3 x




Figure 3 : courbe représentative de la fonction h

y


1




-4 -3 -2 - 0 2 3 4 x
 Document réponse n°2 , à rendre avec la copie ( exercice1 )
Tableau 1
n 0 1 2 3 4 5 6 7
An 0,12500 0,12727 0,13863 0,08318 0,5305 0,02461
n 8 9 10 11 12 13 14 15
An 0,01914 0,03183 0,03781 0,03199 0,02274 0,01148
Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7
Bn 0,14334 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516
n 8 9 10 11 12 13 14 15
Bn 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00367 0,00242 0,00114

Figure 4

y
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-2 -1
-0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x



Figure 5

y
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x
 Document réponse n°3 , à rendre avec la copie (exercice 2)
y






0  /4 x
Exercice 1
Partie A :
1.  Pour tout nombre réel t , f (t )  1
 La fonction g est périodique de période 2 et :
 g (t )  0 si 0  t  

 g (t )  1 si   t  2
1  0  1 si 0  t  
Donc pour tout nombre réel t , on pose : h(t )  f (t )  g (t )  
1  1  0 si   t  2
Courbe représentative de la fonction h
y


1




-4 -3 -2 - 0 2 3 4 x



2. (a) On a
1 T 1 2 1  1 2 1  1  1  
a0   f (t )dt  0 f (t )dt  0 f (t )dt   f (t )dt  0 f (t )dt  0 1dt  0  2 [t ]0  2
T 0 2 2 2 2 2

 1  1
(b) On a, pour n  1 :  cos(nt )dt   sin(nt )   sin  n 
0 n 0 n

  1 cos(nt)dt   

2 T 2  2 1  1
 
an   f (t ) cos(nt )dt  cos(nt )dt   cos(nt )dt   sin(nt ) 
T 0 2 0   0  n 0
1
an  sin  n 
n
c) On a, pour n  1 :

  1 sin(nt)dt   

2 T 2  2 1  1 
bn   f (t ) sin(nt )dt  0  sin(nt )dt   sin(nt )dt    cos(nt ) 
T 0 2 0   0  n 0
1 1 1
bn   cos  n   cos  0   1  cos(n ) 
n n n

3. À l’aide de la question précédente, on a : A0  a0 
2
an2  bn2  1   sin ( )  1  cos(n )    1   sin 2 ( )  1  2 cos(n )  cos(n ) 2 
2 2 2 2
   
  n  
 
2  n   2

2 
et pour n  1,
an2  bn2  1   2  2 cos(n )   1 
2 2
   
   1  cos(n ) 
2  n   2   n 
2
an2  bn2  1  1
An     1  cos(n )   1  cos(n )  .
2  n  n
4.
DOCUMENT réponse 2 Tableau 1
n 0 1 2 3 4 5 6 7
An 0,12500 0,12727 0,15915 0,13863 0,11254 0,08318 0,5305 0,02461
n 8 9 10 11 12 13 14 15
An 0 0,01914 0,03183 0,03781 0,03751 0,03199 0,02274 0,01148
5.
1 2 2
1  /4 1  /4 1  1
 0  h(t ) dt  heff  0 1dt  t      0,125 .
2 2
a) heff
2 2 2 0 2 4 8
3
b) P   A2n  A20  A12  A22  A23   0,125   0,12727    0,13863   0,13863  0, 08984895
2 2 2 2

n 0
P 0, 0898489523
c) 2
  0, 71879 .
heff 0,125
Partie B
3
H ( p) 
.
2p 3
On définit la fonction r , pour tout nombre réel positif  par :
r    H  j  .
3
1. Montrer que r    .
9  4 2
3 3 3 3
H ( j )  , donc H ( j )   
2 j  3 2 j  3
9  4 2 2 j  3
2. Pour tout nombre entier naturel n , on définit le nombre réel positif B n par :
3 1 3 1  cos(n ) 