DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 juin 2014 à 9:22




ROC : Restitution organisées des
connaissances

Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnements mis en œuvre
peuvent être demandés dans un contexte légèrement différent. En particulier en
ce qui concerne les suites récurrentes.
Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demander une autre dé-
monstration que celle vue en cours.


Table des matières

1 Suites 2
1.1 Somme des termes d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Inégalité de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Limite d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Suite croissante non majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Analyse 7
2.1 Unicité de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Relation fonctionnelle de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Limites en l’infini de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Limites de référence de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Logarithme du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l’infini . . . . . . . . . . 12
2.7 Croissance comparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . 14
2.9 Théorème fondamental de l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Les nombres complexes 17
3.1 Propriétés des modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Probabilité. Statistique 19
4.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Loi exponentielle - loi sans mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Expérance d’une loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Loi normale - Probabilité d’intervalle centré en 0 . . . . . . . . . . . 22
4.5 Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Statistique - Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Géométrie dans l’espace 25
5.1 Le théorème du toit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Droite orthogonale à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Équation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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 TABLE DES MATIÈRES



1 Suites
1.1 Somme des termes d’une suite géométrique


Théorème 1 : Soit (un ) une suite géométrique de raison q 6= 1 et de premier
terme u0 . La somme Sn des (n + 1) premier termes est égale à :

1 − q n +1
Sn = u0 + u1 + · · · + u n = u0
1−q


Démonstration : on a :

Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + u n
= u0 + ( q × u0 ) + ( q2 × u0 ) + · · · + ( q n × u0 )
= u0 (1 + q + q2 + · · · + q n )

On pose : An = 1 + q + q2 + · · · + qn−1 + qn
En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient :
A n = 1 + q + q 2 + · · · + q n −1 + q n
q × An = q + q 2 + · · · + q n −1 + q n + q n +1
A n − q × A n = 1 − q n +1

1 − q n +1
On obtient alors : An =
1−q
1 − q n +1
Conclusion : On a donc Sn = u0
1−q




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 1. SUITES



1.2 Inégalité de Bernoulli


Théorème 2 : ∀ a ∈ [0; +∞], (1 + a)n > 1 + na



Démonstration : Par récurrence
• P (0) est vraie puisque (1 + a)0 > 1 + 0a pour tout a ∈ R + .
• Montrons que, pour tout n ∈ N :

P ( n ) ⇒ P ( n + 1)

Soit n ∈ N, supposons que P (n) est vraie donc :

(1 + a)n > 1 + na

Or, 1 + a > 0, donc en multipliant l’inégalité ci-dessus par (1 + a), on obtient :

(1 + a)n+1 > (1 + na)(1 + a)

Or
(1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na2 = 1 + (n + 1) a + na2
et comme na2 > 0 :

(1 + na)(1 + a) > 1 + (n + 1) a
D’où
(1 + a ) n +1 > 1 + ( n + 1 ) a
P (n + 1) est vrai.
Conclusion : on a : (
P (0)
∀n ∈ N, P ( n ) ⇒ P ( n + 1)
Donc : ∀ a ∈ [0; +∞], (1 + a)n > 1 + na




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 TABLE DES MATIÈRES



1.3 Théorèmes de comparaison


Théorème 3 : Soit trois suites (un ), (vn ) et (wn ). Si à partir d’un certain rang,
on a :

1) Théorème d’encadrement ou "des gendarmes"
vn 6 un 6 wn et si lim vn = ℓ et lim wn = ℓ alors lim un = ℓ
n→+∞ n→+∞ n→+∞

2) Théorème de comparaison
• un > vn et si lim vn = +∞ alors lim un = +∞
n→+∞ n→+∞
• un 6 wn et si lim wn = −∞ alors lim un = −∞
n→+∞ n→+∞



Pré-requis : Définition de la limite infinie d’une suite
Démonstration : Seule la preuve du théorème de comparaison en +∞ est
exigible.
On sait que : lim vn = +∞, donc pour tout réel A, il existe un entier N tel que
n→+∞
si n > N alors vn ∈] A; +∞[
Comme un > vn à partir du rang p donc si n > max( N, p) alors un ∈ ] A; +∞[
On a donc bien : lim un = +∞
n→+∞




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 1. SUITES



1.4 Limite d’une suite géométrique


Théorème 4 : Soit q un réel. On a les limites suivantes :
• Si q > 1 alors lim qn = +∞
n→+∞
• Si −1 < q < 1 alors lim qn = 0
n→+∞
• Si q 6 −1 alors lim qn n’existe pas
n→+∞


Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en +∞
Démonstration : Seule la preuve de la première limite est exigible
D’après l’inégalité de Bernoulli, on a :

∀ a > 0 (1 + a)n > 1 + na

On pose q = 1 + a donc si a > 0 on a q > 1. L’inégalité devient :

qn > 1 + na

Comme a > 0 on a : lim 1 + na = +∞
n→+∞
D’après le théorème de comparaison on a : lim qn = +∞
n→+∞
1
Remarque : Pour démontrer la deuxième limite, on peut poser Q = , avec
|q|
0 < |q| < 1 donc Q > 1 . On revient alors à la première limite et l’on conclut avec
le quotient sur les limites.




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 TABLE DES MATIÈRES



1.5 Suite croissante non majorée


Théorème 5 : Divergence
• Si une suite (un ) est croissante et non majorée alors la suite (un ) diverge vers
+∞.
• Si une suite (un ) est décroissante et non minorée alors la suite (un ) diverge
vers −∞.


Pré-requis : Définition d’une suite non majorée.
Démonstration : Seule la preuve de la première propriété est exigible. Soit
donc une suite (un ) croissante et non majorée.
(un ) n’est pas majorée, donc pour tout intervalle ] A; +∞[,

∃ N ∈ N tel que : u N ∈] A; +∞[

Comme (un ) est croissante, on a :

∀n > N alors un > u N

Donc :
∀n > N alors un ∈] A; +∞[
donc à partir d’un certain rang tous les termes de la suite sont dans l’intervalle
] A; +∞[. La suite (un ) diverge vers +∞.




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 2. ANALYSE



2 Analyse
2.1 Unicité de la fonction exponentielle


Théorème 6 : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :

f′ = f et f (0) = 1

On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp


Démonstration : L’existence de cette fonction est admise.
Démontrons l’unicité.
• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R.
Soit la fonction ϕ définie sur R par : ϕ( x ) = f ( x ) f (− x ).
Montrons que la fonction ϕ est constante. Pour cela dérivons ϕ.

ϕ′ ( x ) = f ′ ( x ) f (− x ) − f ( x ) f ′ (− x )

Comme f ′ = f , on a :
= f ( x ) f (− x ) − f ( x ) f (− x )
=0

Comme ϕ′ = 0 alors la fonction ϕ est constante. Donc :

∀x ∈ R ϕ ( x ) = ϕ (0) = f 2 (0) = 1

On en déduit alors : f ( x ) f (− x ) = 1, donc la fonction f ne peut s’annuler.
• Unicité
On suppose que deux fonctions f et g vérifient les conditions du théorème, soit
f = f ′ , g′ = g et f (0) = g(0) = 1. La fonction g ne s’annule donc pas, on définit
f
alors sur R la fonction h par h = . On dérive h :
g

′ f ′ g − f g′ fg− fg
h = 2
= =0
g g2

f (0)
La fonction h est donc constante et h( x ) = =1
g (0)
f (x)
On a donc : ∀ x ∈ R, = 1.
g( x )
On en déduit que f = g. L’unicité est ainsi prouvé.




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 TABLE DES MATIÈRES



2.2 Relation fonctionnelle de l’exponentielle


Théorème 7 : Soit a et b deux réels, on a alors :
exp( a + b) = exp( a) × exp(b)


Remarque : Cette relation s’appelle la relation fonctionnelle car on pourrait dé-
finir l’exponentielle à partir de cette propriété pour retrouver que l’exponentielle
est égale à sa dérivée.
exp( x + a)
Démonstration : Posons la fonction h( x ) = .
exp( a)
Montrons alors que la fonction h n’est autre que la fonction exponentielle. Il suffit
alors de Montrer que h′ = h et h(0) = 1 :

exp′ ( x + a) exp( x + a)
h′ ( x ) = = = h( x )
exp( a) exp( a)

exp(0 + a)
h (0) = =1
exp( a)

La fonction h est donc la fonction exponentielle. On en déduit alors :
exp( x + a)
= exp( x ) ⇔ exp( x + a) = exp( x ) × exp( a)
exp( a)




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 2. ANALYSE



2.3 Limites en l’infini de l’exponentielle


Théorème 8 : On a les limites suivantes :
lim e x = +∞ et lim e x = 0
x →+∞ x →−∞



Démonstration : Soit la fonction f suivante : f ( x ) = e x − x.
Dérivons la fonction f : f ′ ( x ) = e x − 1
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a :

f ′ ( x ) > 0 ⇔ x > 0 et f ′ (x) < 0 ⇔ x < 0

On obtient alors le tableau de variation suivant :

x −∞ 0 +∞
f ′ (x) − 0 +

f (x)
1


Du tableau de variation on en déduit : ∀x ∈ R f ( x ) > 0 donc ex > x

or on sait que lim x = +∞ par comparaison on a :
x →+∞

lim e x = +∞
x →+∞

En faisant le changement de variable X = − x, on obtient :

1
lim e x = lim e−X = lim =0
x →−∞ X →+∞ X →+∞ e X




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 TABLE DES MATIÈRES



2.4 Limites de référence de l’exponentielle

ex − 1
Théorème 9 : On a : lim =1
x →0 x


Démonstration : La démonstration découle de la définition de la dérivée en 0
appliquée à la fonction e x .
e x − e0
lim = exp′ (0) = exp(0) = 1
x →0 x


Théorème 10 : Croissance comparée
ex
lim = +∞ et lim xe x = 0
x →+∞ x x →−∞



Démonstration : Comme pour la limite de e x en +∞, on étudie les variation
d’une fonction. Soit donc la fonction g définie sur R par :
x2
g( x ) = e x −
2
On calcule la dérivée g′ : g′ ( x ) = e x − x
D’après le paragraphe 2.3, on a : ∀ x ∈ R ex > x donc g′ ( x ) > 0
La fonction g est donc croissante sur R.
Or g(0) = 1 donc si x > 0 alors g( x ) > 0. On en déduit donc que :

x2 ex x
x>0 g( x ) > 0 ⇔ ex > ⇔ >
2 x 2
x
On sait que lim = +∞, par comparaison, on a :
x →+∞ 2
ex
lim = +∞
x →+∞ x

Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable X = − x, on obtient
alors :
X
lim xe x = lim (− X )e−X = − lim X = 0
x →−∞ X →+∞ X →+∞ e


Conséquence : la fonction exponentielle « l’emporte » sur la fonction x.




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 2. ANALYSE



2.5 Logarithme du produit


Théorème 11 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a :
ln ab = ln a + ln b


Démonstration : D’après les propriétés de l’exponentielle, on a :

e a = eb ⇔ a=b

Or eln ab = ab et eln a+ln b = eln a × eln b = ab
On conclut donc que ln ab = ln a + ln b.
Remarque : C’est cette propriété qui est à l’origine de la fonction logarithme.




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 TABLE DES MATIÈRES



2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l’infini


Théorème 12 : On a les limites suivantes :
lim ln x = +∞ et lim ln x = −∞
x →+∞ x →0+



Démonstration :
• Pour montrer la limite en +∞, on revient à la définition :
Pour tout M > 0, si ln x > M alors, comme la fonction exp est croissante,
x > eM.
Il existe donc un réel A = e M tel que si x > A alors ln x > M.
Conclusion : lim ln x = +∞.
x →+∞
1
• Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On pose X = .
x
Donc si x → 0+ alors X → +∞. On a alors :
1
lim ln x = lim ln = lim − ln X = −∞
x →0+ X →+∞ X X →+∞




PAUL M ILAN 12 T ERMINALE S
 2. ANALYSE



2.7 Croissance comparée


Théorème 13 : Croissance comparée
ln x
lim =0 et lim x ln x = 0
x →+∞ x x →0+



ex
Pré-requis : lim = +∞
x →+∞ x

Démonstration :
• Pour la premère limite, on fait un changement de variable. On pose : X = ln x,
on a alors x = e X . On a alors :

x → +∞ alors X → +∞

Notre limite devient alors :
ln x X ex
lim = lim X = 0 car lim = +∞
x →+∞ x X →+∞ e x →+∞ x

1
• Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant : X = . On
x
a alors :

x → 0+ alors X → +∞
La deuxième limite devient alors :
1 1 ln X
lim x ln x = lim ln = lim − =0
x →0+ X →+∞ X X X →+∞ X

Remarque : On peut dire que : « x l’emporte sur ln x en +