Solide indéformable : PQ=cste


dm=ρd τ

∭ ⃗
OM dm
Centre d'inertie : ⃗
OG=
m


Rotation d'un solide autour d'un axe fixe Δ
passant par O : v⃗M =⃗ ω ∧⃗OM


Théorème de la résultante cinétique : ⃗p=m v⃗G


Théorème du moment cinétique :
• σ⃗O =J Δ ω
⃗ avec le moment d'inertie
2
J Δ =∭ r dm

• σ Δ=J Δ ω


1 2 1 2
Énergie cinétique : Ec = J Δ ω ≠ m v G
2 2


Théorème d'Huygens :
J Δ =J Δ ,G + md
2
avec le bras de O Δ d
levier d=OG z
A
M Δ ( ⃗f )=−f d=(⃗
OA∧ ⃗f )⋅⃗
uz
θ
P ( ⃗f )=M Δ ( ⃗f ) ω=−f d ω f
Translation (rectiligne ou circulaire) : v⃗P= v⃗Q
∀t
Quantité de mouvement – Résultante cinétique :
⃗p=∭ v⃗M dm=m v⃗G
Moment cinétique par rapport à O:
σ⃗O (M )=∭ ⃗
OM ∧ v⃗M dm=⃗
OG∧m v⃗G


Théorème de la résultante cinétique – 2 e loi de
Newton :
• dans un référentiel ℜ galiléen :
d ⃗p
∑ ⃗F = dt =m a⃗G
• dans un référentiel ℜ' non galiléen :
∑ F⃗ +f⃗i , e+ f⃗i ,c =m a⃗'G

Si le solide est immobile, T⃗ et ⃗
N s'appliquent
en I et ⃗ P passe par I :
N
T G
I
P


Lois de Coulomb :
• glissement : T =f N ( v⃗I ≠⃗0 ) avec f
le coefficient de frottement dynamique ou
cinétique
• statique : T < f S N avec f S > f


Théorème de l'énergie cinétique dans un
référentiel ℜ galiléen :
• forme intégrée :
Ec (t f )−Ec (t i)=∑ W i→ f ( F⃗ext )

• forme différentielle : d Ec =∑ δ W ( F⃗ext )
entre t et t+ dt
• théorème de la puissance cinétique Pc :
d Ec
=∑ P c ( F⃗ext ) à t
dt


Théorème du moment cinétique en O dans un
d σ⃗O
référentiel ℜ galiléen : =∑ M⃗O ( F⃗ext )
dt
avec M⃗ O ( ⃗
P )=⃗
OG∧ ⃗
P et M⃗ O ( ⃗
R )=⃗
OI ∧ ⃗
R
 a) Cinématique du solide
Champ des vitesses – Loi de distribution des
vitesses :
⃗ ∧⃗
v⃗P= v⃗Q + ω QP= v⃗Q +⃗
PQ∧⃗ ⃗ =ω u⃗Δ
ω avec ω

Torseur cinématique en Q:
[vω⃗⃗ ]
Q
résultante cinématique
moment de ω ⃗ en Q

Translation ⇒
[ ⃗
0
v⃗P= v⃗Q ]
Rotation autour de O fixe ⇒


[ ]
ω
⃗
v⃗P= v⏟ ⃗ ∧⃗
⃗O + ω OP
=⃗0




b) Cinétique du solide

Torseur cinétique en O :
[ ]
⃗p
σ⃗O
Relation caractéristique du torseur cinétique :
σ⃗P= σ⃗O +⃗
PO∧⃗p avec ⃗p=m v⃗G
1er théorème de Koenig : σ⃗O =σ⃗G +⃗
OG∧m v⃗G
1 ω
Ec =
[ ][ ]
⃗ ⋅ ⃗p
2 v⃗P σ⃗P
1
2e théorème de Koenig : Ec =E c ✳ + m v G2
2


c) Dynamique du solide
Torseur des actions extérieures en O :

[ ]
∑ F⃗ext avec ⃗
⃗M O , ext
M O ,ext =∑ ⃗
OA i∧ F⃗i


Si O est fixe, alors
[ ][
d ⃗p
dt σ⃗O
= ∑ F ext
⃗
⃗
M O ,ext ]
donc dans un référentiel ℜ galiléen :
d ⃗p
= F⃗ =m a⃗G
dt ∑ ext
• T.R.C. ⇒

d σ⃗O
• T.M.C. en O ⇒ =⃗
M O , ext
dt
dans un référentiel ℜ✳ non galiléen :
• T.R.C. ⇒ 0 =∑ F⃗ext + f ⃗i , e
⃗

d σ⃗G
• T.M.C. en G ⇒ =⃗
M G , ext
dt