SII cours dynamique


Cinétique (aide mémoire)
1. Matrice d’inertie
r r r
La matrice d’inertie du solide (S) au point O exprimée dans la base ( x , y , z ) s’écrit :

 A = I Ox ( S ) = (Y 2 + Z 2 ).dm  D = POyz = YZdm
 A −F − E  ∫S  ∫S
 
I (O, S ) = − F B − D  avec  B = I Oy ( S ) = ∫S ( X + Z ).dm
2 2
 E = POzx = ∫SZXdm
 − E − D C  ( xr , yr , zr )  
C = I Oz ( S ) = ∫ ( X 2 + Y 2 ).dm  F = POxy = ∫ XYdm
 S  S



2. Théorème de Huyghens
(S) est un solide de masse m et de centre d’inertie G.
r r r
Relations entre les moments et produits d’inertie au point O et G sachant que : OG = a. x + b. y + c. z

b 2 + c 2 − a.b − a.c 
I (O, S ) = I (G, S ) + I (O, mG ) avec I (O, mG ) = m  − a.b a2 + c2 − b.c 

 − a.c − b.c a 2 + b 2 
 ( xr , yr , zr )


3. Changement de base d’expression
r r r r r r r r r r r r
 A1 − F1 − E1   x1 .x 2 x1 . y 2 x1 .z 2   A2 − F2 − E 2   x 2 .x1 x 2 . y1 x 2 .z1 
− F B1 − D1  =  y1 .x 2 y1 . y 2 y1 .z 2  •  − F2 B2 − D2 •  y 2 .x1 y 2 . y1 y 2 .z1 
r r r r r r r r r r r r
 1 r r r r r r r r r r r r
− E1 − D1 C1  B1  z1 .x 2 z1 . y 2 z1 .z 2  − E 2 − D2 C 2   z 2 .x1 z 2 . y1 z 2 .z1 
1444 424444 3 1444 424444 3 144424443 1444424444 3
 I ( O , S ) [B1, 2 ]  I ( O , S ) [ B2 →1 ]
   
B1 B2




4. Inertie par rapport à un axe
r r r
Inertie d'un solide (S) par rapport à un axe ∆ de vecteur unitaire δ : I ∆ (S ) = δ . I (O, S ).δ 
 

5. Torseur cinétique
5.1. Définition
Le torseur cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement par rapport au repère R s’exprime en
un point A quelconque par :

 Rc (E / R ) = m.V (G / R ) 
{ }
C (E / R ) = σ ( A, E / R ) = AP ∧ V (P / R )dm

 ∫ 
 p∈E A

5.2. Moment cinétique pour un solide :


σ ( A, S / R ) = m. AG ∧ V ( A ∈ S / R ) + I ( A, S ) ⋅ Ω (S / R )
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Cas particuliers :
r
¾ V ( A ∈ S / R ) = 0 (ou V ( A ∈ S / R ) colinéaire à AG ) ⇒ σ ( A, S / R ) = I ( A, S ) ⋅ Ω (S / R )
¾ A est confondue avec G (ou V (G / R ) est colinéaire à AG ) ⇒ σ (G, S / R ) = I (G, S ) ⋅ Ω (S / R )
6. Torseur dynamique
6.1. Définition :
Le torseur dynamique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement par rapport au repère R s’exprime en
un point A quelconque par :

 Rd (E / R ) = m.Γ(G / R ) 
{D } 
(E / R ) =  

δ ( A, E / R ) = ∫ AP ∧ Γ(P / R )dm
 p∈E A

6.2. Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique

δ ( A, E / R ) =  dσ ( A, E / R )
 
+ m.V ( A / R ) ∧ V (G / R )
 dt  R
Cas particuliers :


δ ( A, E / R ) =  dσ ( A, E / R )
r  
¾ V ( A / R ) = 0 (ou V ( A / R ) colinéaire à V (G / R ) ):
 dt  R

δ (G, E / R ) =  dσ (G, E / R )
 
¾ A est confondu avec G :
 dt  R

7. Energie cinétique
7.1. Définition
L’énergie cinétique d’un ensemble matériel (E) dans son mouvement par rapport à un repère R est définie
par :

T (S / R ) =
1
2 ∫E
[V ( P / R )
2
]
.dm


7.2. Energie cinétique d’un solide
l’énergie cinétique du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R s’exprime par le comoment
des torseurs cinématique et cinétique du mouvement de (S) par rapport à R :

2.T (S / R ) = {V (S / R)}⋅ {C (S / R)} = V (A ∈ S / R) ⋅ m.V (G / R) + Ω (S / R ) ⋅ σ ( A, S / R )


Cas particulier :

¾ A est fixe dans le mouvement de S/R : 2.T (S / R ) = Ω ( S / R ) ⋅ I ( A, S ) ⋅ Ω ( S / R )

(S / R ) = m.[V (G / R )]
2
¾ A est confondu avec G 2.T + Ω ( S / R ) ⋅ I (G, S ) ⋅ Ω ( S / R )


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Energétique
1. Puissance
1.1. Définition
Considérons un ensemble matériel (E) en mouvement par
rapport à un repère R. V (M / R )

En chaque point M de (E) on peut définir un vecteur vitesse M
r r
V (M ∈ E/R ) et un vecteur densité de force df (M ) des actions df ext→ E (M )

mécaniques extérieures sur (E).
la puissance développée à la date t, par les efforts extérieurs sur R
(E) dans son mouvement par rapport au repère R est :
r
P(ext → E/R ) = ∫ V (M/R ).df ext → E (M) (watt) ou (Kg.m .s )
2 −3

E




Remarques :

La puissance dépend du repère choisi ;

Il existe de nombreux exemples de champ de forces :
r
df (M ) = ρ .g ( M ).dV
r
• Champ des forces de pesanteur :
r
Champ des forces de pression d’un fluide : df (M ) = P ( M ).n.dS
r
•

• Champ des forces de contact entre deux solides
• …

1.2. cas particulier du solide
Si (E) est un solide (S) → le champ des vecteur vitesses peut être représenté par un torseur :
 Ω(S/R) 
{V (S/R )}
= A  on peut alors exprimer V(M,S/R) en fonction de V(A,S/R) .
V(A,S/R) A

[ r
]
P(ext → S/R ) = ∫ V ( A ∈ S/R ) + Ω(S/R ) ∧ AM .df ext →S (M )
S
r r
P(ext → S/R ) = V ( A ∈ S/R ).∫ df (M ) + Ω (S/R ).∫ AM ∧ df ext→S (M )
S S

P(ext → S/R ) = V ( A ∈ S/R ).R(ext → S ) + Ω (S/R ).M ( A,ext → S )

P(ext → S/R ) = {T (ext → S )}.{V (S/R )}

Remarques :

Le comoment de deux torseur ne dépend pas du point choisi mais le calcul doit être effectué en prenant
le même point pour les deux torseurs ;

Pour déterminer la puissance extérieure des efforts s’exerçant sur un système de solides, il est conseillé
de calculer séparément les puissances développées par chaque effort agissant sur chacun des solides.
Ainsi, pour chaque comoment, on peut choisir le point de réduction le mieux adapté.


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1.3. Puissance développée par les actions mutuelles entre deux
ensembles matériels.
La puissance développée, à la date t, par les actions mutuelles entre les ensembles (E1) et (E2) dans leur
mouvement par rapport à un repère R est :

P(E1 ↔ E 2 /R ) = P(E1 → E 2 /R ) + P(E 2 → E1 /R )

Remarque :
La puissance développée par les actions mutuelles entre (E1) et (E2) est indépendante du repère R.
r
 P(E1 → E 2 /R ) = V (M/R ).df 1→2 (M )
 ∫
E2
 r
 P(E1 → E 2 /R1 ) = ∫ V (M/R1 ).df 1→2 (M )
 E2


P(E1 → E 2 /R ) − P(E1 → E 2 /R1 ) = ∫ [V (M/R ) − V (M/R1 )].df1→2 (M )
r
E2
r
= ∫ V (M ∈ R1 /R ).df 1→2 (M )
E2

= {T (E 1 }{ }
→ E 2 ) . V (R1 /R )
(E1) et (E2) ne sont pas forcément des solides.

De même : P(E2 → E1 /R ) − P(E2 → E1 /R1 ) = {T (E2 → E1 )}.{V (R1 /R )}
⇒ P(E1 ↔ E 2 /R ) = P(E1 ↔ E 2 /R1 ) car {T (E1 } {
→ E 2 ) = − T (E 2 → E1 ) . }
Par la suite on écrira : P(E1 ↔ E 2 )
1.4. Liaison parfaite entre deux solides
N (1→2 )
Deux solides (S1) et (S2) ont une liaison parfaite si, quel que soit R (1→2 )
le mouvement de (S2) par rapport à (S1) autorisé par la liaison, (S2)
la puissance développée par les actions mutuelles entre (S1) et
(S2) est nulle. : P (S 1 ↔ S 2 ) = 0 V ( A,2 / 1)



A
Exemple : T (1→2 )


Considérons deux solide (S1) et (S2) en contact ponctuel en un
(S1)
point A :

 
{T (S1 /S 2 )}A = R ( 1r→2 )  avec R ( 1→2 ) = N ( 1→2 ) + T ( 1→2 )
 0  A
 Ω ( 2 / 1 ) 
{V (S 2 }
/S1 ) A
=  avec V(A,S 2 /S1 ) opposée à T 1 → 2 
V(A,S 2 /S1 ) A
la puissance développée par les actions mutuelles entre (S1) et (S2) s’écrit par rapport à un repère R :
P(S1 ↔ S 2 ) = P(S1 → S 2 /R ) + P(S 2 → S1 /R )
si R est lié à (S1) ⇒ P(S1 ↔ S 2 ) = P(S1 → S 2 /S1 ) = {T (S1 → S 2 )}.{V (S 2 /S1 )} = T (1 → 2).V ( A,2 / 1)
la puissance développée est nulle si (S2) roule sans glisser sur (S1) ou si le contact est sans frottement.
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Remarque :

La relation {T
(S1 → S 2 ) . }{V (S 2 }
/S1 ) = 0 signifie que les torseurs cinématique et statique d’une liaison
parfaite sont réciproques.

2. Théorème de l’énergie cinétique
2.1. Pour un solide
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un solide (S) de masse m dans son mouvement par
rapport à un repère galiléen Rg s’écrit : {D(S/Rg )} = {T (S → S )}
{D(S/Rg )}.{V (S/Rg )} = {T (S → S )}.{V (S/Rg )}
 Γ (P/Rg ).dm 
∫S   Ω (S/Rg) 
  .  = P (S → S/Rg ) (puissance galiléenne des actions mécaniques
∫ AP ∧ Γ (P/Rg ).dm  V (A,S/Rg) A
 S  A
extérieures à (S).

∫ Γ (P/Rg ).dm.V(A,S/Rg) + ∫ AP ∧ Γ (P/Rg ).dm.Ω (S/Rg) = P(S → S/Rg )
S S


∫ Γ (P/Rg ).V(A,S/Rg).dm + ∫ AP ∧ Γ (P/Rg ).Ω (S/Rg) .dm = P(S → S/Rg )
S S


V ( A,S/Rg ) = V (P,S/Rg ) + Ω (S/Rg ) ∧ PA

∫ Γ (P/Rg ).V(P,S/Rg).dm + ∫ Γ (P/Rg ).Ω(S/Rg ) ∧ PA.dm +
S S


∫ AP ∧ Γ (P/Rg ).Ω(S/Rg ).dm = P(S → S/Rg )
S

P(S → S/Rg ) T (S/Rg ) = P(S → S/Rg )
d
∫ Γ (P/Rg ).V(P,S/Rg).dm =
S
dt

∫ dt
d 1
2
[V(P,S/Rg)] dm = P(S → S/Rg )
2


S

d 1
dt ∫S 2
[V(P,S/Rg)] dm = P(S → S/Rg )
2




la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) est égale à la puissance
galiléenne des actions extérieures à (S).




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2.2. Pour un ensemble de solides
Notons Σ un système constitué de n solides (Si) en mouvement par rapport à un rèpère galiléen Rg.

T (S i /Rg ) = P (S i → S i /Rg )
d
Pour chaque solide (Si) de Σ nous pouvons écrire :
dt
d n
P(S i → S i /Rg )
n
En ajoutant membre à membre les n relations, on obtient : ( )
∑ T S i /Rg = ∑
dt i =1 i =1



P(Σ → Σ/Rg ) + ∑ P(S i ↔ Sj)
n
T (Σ/Rg ) =
d
dt i,j =1
i< j


Energie cinétique galiléenne du Puissance galiléenne des actions Puissance des actions mutuelles
système Σ mécaniques extérieures à Σ entre chaque solide de Σ


Remarques :
Contrairement au PFD, le théorème de l’énergie cinétique prend en compte les actions mutuelles entre les
solides ;
L’équation issue du théorème de l’énergie cinétique n’est pas indépendante des équations algébriques