Complément mathématique

Formulaire d’analyse vectorielle

1 Composition d’opérateurs
rot 
 
 grad 0

rot  0
div 

div 
grad
 ∆


 rot
rot div  ∆
  grad


2 Composition des champs

grad

  
 
grad
 
 
grad



 
rot
rot 
 
  grad


. 
div
 
div  grad

  
div  . rot
    
   . rot




  grad
. grad    
 rot
2

3 Théorème d’OSTROGRADSKY

   ! "#
.  $
  %

Le flux d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l’intégrale triple de sa
divergence étendue au volume intérieur de cette surface.
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4 Théorème de STOKES

. '
&    ) *+, 
. 

(  

La circulation d’un champ de vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux de son
rotationnel à travers une surface quelconque s’appuyant sur ce contour.


5 Systèmes de coordonnées




FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes




FIGURE 2 Coordonnées cylindriques




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FIGURE 3 Coordonnées sphériques


6 Coordonnées cartésiennes
.
.
.


grad
 - 
 0
1  03 
 0

./ .2 .4 5

.1 .3 .5
.  
div  -  
./ .2 .4

.5 .3 .1 .5 .3 .1
rot  -
     6  7 
01  8  90

36  7 
05
.2 .4 .4 ./ ./ .2

. 
. 
. 



∆
 -  
./  .2  .4 

01 
Les vecteurs unitaires , 03 et 
05 en chaque point, constituent des champs uniformes et ont
tous une divergence et un rotationnel nuls.


7 Coordonnées cylindriques
Seule la formule du gradient est à connaître en coordonnées cylindriques.

.
1 .
.


grad
 0
;  0> 
 0

.: : .= .4 5

1 .:;  1 .> .5
div   
: .: : .= .4
1 .5 .> .; .5 1 .:>  .;
rot  8
  90
;  8  90

> 8  90
5
: .= .4 .4 .: : .: .=


3/4
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1. .
1 . 
. 

∆
 8: 9     
: .: .: : .= .4

0;   05  
 
?
Vecteurs unitaires : div0 
;  ; rot 0 ; div0
 
>  0 ; rot 0>  @ ; div0 
5  0 ; rot 0
; ;


8 Coordonnées sphériques
Seule la formule du gradient est à connaître en coordonnées sphériques.

.
1 .
1 .



grad 0
;  0> 
 0

.: : .= :sin= .C D

1 .:  ;  1 .sin=>  1 .D
div   
:  .: :sin= .= :sin= .C

1 .sin=>  .> 1 1 .; .:D 
 
rot 6  7 
0;  6  7 
0>
:sin= .= .C : sin= .C .:
1 .:>  .;
 8  90 
D
: .: .=

1 .  :
 1 .
1 . 

∆
  8sin= 9 
: .:  :  sin= .= :  sin = .C 

0;  0 ; rot et 
 
?@  
?
Quelques résultats utiles : div0 
;  ; ; rot 
...