Université Pierre et Marie Curie Licence de Sciences et Technologies
L3 : Physique appliquée aux Sciences de la Vie et de la Planète


LP347 Propriétés dynamiques des milieux continus et phénomènes de transport



Formulaire d'analyse vectorielle



1 Systèmes de coordonnées et opérateurs diérentiels
Les vecteurs sont notés ici en caractères gras. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté
a.b, leur produit vectoriel a ∧ b.

1.1 Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point M sont dénies par le vecteur :

~x = OM = x ~ex + y ~ey + z ~ez (1)

dans un trièdre orthonormé direct (~ex , ~ey , ~ez ) d'origine O. Le vecteur de composantes nulles (0, 0, 0) est
noté ~0.
Un champ vectoriel ~v évalué au point ~x s'écrit de manière générale :

~v (~x) = vx (x, y, z) ~ex + vy (x, y, z) ~ey + vz (x, y, z) ~ez , (2)

les composantes (vx , vy , vz ) dépendant a priori de la position ~x.
Le vecteur déplacement innitésimal d~l séparant deux point M et M 0 de coordonnées cartésiennes (x, y, z)
et (x + dx, y + dy, z + dz) s'écrit sous la forme :

d~l = dx ~ex + dy ~ey + dz ~ez . (3)

Les opérateurs diérentiels usuels sont alors dénis par les expressions suivantes :

~ f (x, y, z) ∂f ∂f ∂f
grad = ~ex + ~ey + ~ez
∂x ∂y ∂z
∂ax ∂ay ∂az
div a(x, y, z) = + + ,
∂x ∂y ∂z
   
~ ∂az ∂ay ∂ax ∂az
rot a(x, y, z) = − ~ex + − ~ey
∂y ∂z ∂z ∂x
 
∂ay ∂ax
+ − ~ez ,
∂x ∂y
∂2f ∂2f ∂2f
∆ f (x, y, z) = + + ,
∂x2 ∂y 2 ∂z 2

où f (~x) et a(~x) dénotent respectivement un champ scalaire et vectoriel.
 LP347 Milieux continus et transport page 2


1.2 Coordonnées cylindriques

On utilise généralement un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) pour décrire un système invariant
par rotation autour d'un axe, noté Oz par la suite (cf. gure 1).




Fig. 1  Coordonnées cylindriques

Le vecteur position s'écrit alors :

~x = OM = r ~er + z ~ez , (4)

et le vecteur vitesse :

~v (~x, t) = vr (r, θ, z, t) ~er + vθ (r, θ, z, t) ~eθ + vz (r, θ, z, t) ~ez . (5)

Les opérateurs diérentiels usuels sont alors dénis par les expressions suivantes :

~ f (r, θ, z) ∂f 1 ∂f ∂f
grad = ~er + ~eθ + ~ez
∂r r ∂θ ∂z
1 ∂(r ar ) 1 ∂aθ ∂az
div a(r, θ, z) = + + ,
r ∂r
 r  ∂θ ∂z
 
~ a(r, θ, z) = 1 ∂az ∂aθ ∂ar ∂az
rot − ~er + − ~eθ
r ∂θ ∂z ∂z ∂r
 
1 ∂ ∂ar
+ (raθ ) − ~ez ,
r ∂r ∂θ
1 ∂2f ∂2f
 
1 ∂ ∂f
∆ f (r, θ, z) = r + 2 2
+ 2,
r ∂r ∂r r ∂θ ∂z

où f (~x) et a(~x) dénotent respectivement un champ scalaire et vectoriel. Le vecteur déplacement inni-
tésimal d~l séparant deux points M et M 0 de coordonnées cylindriques (r, θ, z) et (r + dr, θ + dθ, z + dz)
s'écrit sous la forme :
d~l = dr ~er + r dθ ~eθ + dz ~ez . (6)
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1.3 Coordonnées sphériques

On utilise généralement un système de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) pour décrire un système invariant
par rotation autour d'un point, pris pour origine du repère et noté O (cf. gure 2).




Fig. 2  Coordonnées sphériques

Le vecteur position s'écrit alors :
~x = OM = r ~er , (7)
et le vecteur vitesse :

~v (~x, t) = vr (r, θ, ϕ, t) ~er + vθ (r, θ, ϕ, t) ~eθ + vz (r, θ, ϕ, t) ~eϕ . (8)

Les opérateurs diérentiels usuels sont alors dénis par les expressions suivantes :

~ f (r, θ, ϕ) ∂f 1 ∂f 1 ∂f
grad = ~er + ~eθ + ~eϕ
∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
 
1 ∂ 2

∂ ∂
div a(r, θ, ϕ) = r sin θ ar + (r sin θ aθ ) + (r aϕ ) ,
r2 sin θ ∂r ∂θ ∂ϕ
 
~ a(r, θ, ϕ) = 1 ∂ ∂aθ
rot (sin θ aϕ ) − ~er
r sinθ ∂θ ∂ϕ
 
1 ∂ar 1 ∂
+ − (r aϕ ) ~eθ
r sin θ ∂ϕ r ∂r
 
1 ∂ ∂ar
+ (r aθ ) − ~eϕ ,
r ∂r ∂θ
   
1 ∂ 2 ∂f 1 ∂ ∂f
∆ f (r, θ, ϕ) = r + 2 sin θ
r2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ
1 ∂2f
+ 2 ,
r sin2 θ ∂ϕ2
où f (r, θ, ϕ) et a(r, θ, ϕ) sont respectivement une fonction scalaire et un champ vectoriel :

a = ar (r, θ, ϕ) ~er + aθ (r, θ, ϕ) ~eθ + aϕ (r, θ, ϕ) ~eϕ . (9)

Le vecteur déplacement innitésimal d~l séparant deux points M et M 0 de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ)
et (r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ) s'écrit sous la forme :

d~l = dr ~er + r dθ ~eθ + r sin θ dϕ ~eϕ . (10)
 LP347 Milieux continus et transport page 4


2 Analyse vectorielle
Quelques formules utiles :
a. (b ∧ c) = b. (c ∧ a) = c. (a ∧ b) (11)
a ∧ (b ∧ c) = (a.c) b − (a.b) c (12)
~ ) = ~0
~ gradf
rot( (13)
~
div(rota) =0 (14)
~ rot
...