Équations différentielles


Vidéo „ partie 1. Définition
Vidéo „ partie 2. Équation différentielle linéaire du premier ordre
Vidéo „ partie 3. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
Vidéo „ partie 4. Problèmes conduisant à des équations différentielles
Fiche d'exercices ‡ Équations différentielles

Lorsqu’un corps tombe en chute libre sans frottement, il n’est soumis qu’à son poids P ~ . Par le principe fondamental
~
de la mécanique : P = m~ a. Tous les vecteurs sont verticaux donc mg = ma, où g est la constante de gravitation, a
l’accélération verticale et m la masse. On obtient a = g. L’accélération étant la dérivée de la vitesse par rapport au
temps, on obtient :
dv(t)
=g (1)
dt
Il est facile d’en déduire la vitesse par intégration : v(t) = g t (en supposant que la vitesse initiale est nulle), c’est-à-dire
que la vitesse augmente de façon linéaire au cours du temps. Puisque la vitesse est la dérivée de la position, on a
dx(t)
v(t) = dt , donc par une nouvelle intégration on obtient x(t) = 12 g t 2 (en supposant que la position initiale est
nulle).




0
F~
~
P 0


~
P



x x


Le cas d’un parachutiste est plus compliqué. Le modèle précédent n’est pas applicable car il ne tient pas compte
des frottements. Le parachute fait subir une force de frottement opposée à sa vitesse. On suppose que le frottement
est proportionnel à la vitesse : F = − f mv ( f est le coefficient de frottement). Ainsi le principe fondamental de la
mécanique devient mg − f mv = ma, ce qui conduit à la relation :
dv(t)
= g − f v(t) (2)
dt
C’est une relation entre la vitesse v et sa dérivée : il s’agit d’une équation différentielle. Il n’est pas évident de trouver
quelle est la fonction v qui convient. Le but de ce chapitre est d’apprendre comment déterminer v(t), ce qui nous
permettra d’en déduire la position x(t) à tout instant.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1. DÉFINITION 2


1. Définition

1.1. Introduction
Une équation différentielle est une équation :
• dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ;
• dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y 0 , ou dérivées d’ordres supérieurs
y 00 , y (3) , . . .).
Voici des équations différentielles faciles à résoudre.
Exemple 1.
De tête, trouver au moins une fonction, solution des équations différentielles suivantes :
y 0 = sin x
y(x) = − cos x + k où k ∈ R
y0 = 1 + ex
y(x) = x + e x + k où k ∈ R
y0 = y
y(x) = ke x où k ∈ R
y(x) = ke3x où k ∈ R
y0 = 3 y
y 00 = cos x
y(x) = − cos x + ax + b où a, b ∈ R
y 00 = y
y(x) = ae x + be−x où a, b ∈ R

Il est aussi facile de vérifier qu’une fonction donnée est bien solution d’une équation.
Exemple 2.
1. Soit l’équation différentielle y 0 = 2x y + 4x. Vérifier que y(x) = k exp(x 2 ) − 2 est une solution sur R, ceci quel que
soit k ∈ R.
2. Soit l’équation différentielle x 2 y 00 − 2 y + 2x = 0. Vérifier que y(x) = kx 2 + x est une solution sur R, pour tout
k ∈ R.


1.2. Définition
Passons à la définition complète d’une équation différentielle et surtout d’une solution d’une équation différentielle.
Définition 1.
• Une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0


(E)
où F est une fonction de (n + 2) variables.
• Une solution d’une telle équation sur un intervalle I ⊂ R est une fonction y : I → R qui est n fois dérivable et
qui vérifie l’équation (E).

Remarque.
• C’est la coutume pour les équations différentielles de noter y au lieu de y(x), y 0 au lieu y 0 (x),. . . On note donc
« y 0 = sin x » ce qui signifie « y 0 (x) = sin x ».
• Il faut s’habituer au changement de nom pour les fonctions et les variables. Par exemple (x 00 )3 +t(x 0 )3 +(sin t)x 4 = e t
est une équation différentielle d’ordre 2, dont l’inconnue est une fonction x qui dépend de la variable t. On cherche
donc une fonction x(t), deux fois dérivable, qui vérifie (x 00 (t))3 + t(x 0 (t))3 + (sin t)(x(t))4 = e t .
• Rechercher une primitive, c’est déjà résoudre l’équation différentielle y 0 = f (x). C’est pourquoi on trouve souvent
« intégrer l’équation différentielle » pour « trouver les solutions de l’équation différentielle ».
• La notion d’intervalle dans la résolution d’une équation différentielle est fondamentale. Si on change d’intervalle,
on peut très bien obtenir d’autres solutions. Par exemple, si on se place sur l’intervalle I1 = ]0, +∞[, l’équation
différentielle y 0 = 1/x a pour solutions les fonctions y(x) = ln(x) + k. Alors que sur l’intervalle I2 = ] − ∞, 0[, les
solutions sont les fonctions y(x) = ln(−x) + k (k est une constante).
• Si aucune précision n’est donnée sur l’intervalle I, on considérera qu’il s’agit de I = R.
Exemple 3 (Équation à variables séparées).
Une équation différentielle à variables séparées est une équation du type :
y 0 = g(x)/ f ( y) ou y 0 f ( y) = g(x)
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1. DÉFINITION 3

Une telle équation se résout par calcul de primitives. Si G(x) est une primitive de g(x) alors G 0 (x) = g(x).
0 Si
F (x) est une primitive de f (x) alors F 0 (x) = f (x), mais surtout, par dérivation d’une composition, F ( y(x)) =

0
y 0 (x)F 0 ( y(x)) = y 0 f ( y). Ainsi l’équation différentielle y 0 f ( y) = g(x) se réécrit F ( y(x)) = G 0 (x) ce qui équivaut à
une égalité de fonctions : F ( y(x)) = G(x) + c.

Voici un exemple concret :
x 2 y 0 = e− y
On commence par séparer les variables x d’un côté et y de l’autre : y 0 e y = x12 (en supposant x 6= 0). On intègre des
deux côtés :
1
e y = − + c (c ∈ R)
x
Ce qui permet d’obtenir y (en supposant − 1x + c > 0) :
1
 ‹
y(x) = ln − + c
x
qui est une solution sur chaque intervalle I où elle est définie et dérivable. Cet intervalle dépend de la constante c : si
c < 0, I = ] 1c , 0[ ; si c = 0, I = ] − ∞, 0[ ; si c > 0, I = ] 1c , +∞[.


1.3. Équation différentielle linéaire
On ne sait pas résoudre toutes les équations différentielles. On se concentre dans ce chapitre sur deux types d’équations :
les équations différentielles linéaires du premier ordre et celles du second ordre à coefficients constants.
• Une équation différentielle d’ordre n est linéaire si elle est de la forme
a0 (x) y + a1 (x) y 0 + · · · + an (x) y (n) = g(x)
où les ai et g sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I ⊂ R.
Le terme linéaire signifie grosso modo qu’il n’y a pas d’exposant pour les termes y, y 0 , y 00 , . . .
• Une équation différentielle linéaire est homogène, ou sans second membre, si la fonction g ci-dessus est la fonction
nulle :
a0 (x) y + a1 (x) y 0 + · · · + an (x) y (n) = 0
• Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les fonctions ai ci-dessus sont constantes :
a0 y + a1 y 0 +...