I Notion de matrice

A Introduction
Dans de nombreuses situations, on représente des collections de nombres sous forme de tableau., en particulier
lorsque l’on veut croiser deux critères.
Considérons l’exemple des tarifs postaux en 2001 :

Lettre : service rapide Lettre recommandée
Poids jusqu’à Tarif Poids jusqu’à Taux R1 Taux R2 Taux R3
20g 0,46e 20g 2,82e 3,35e 4,12e
50g 0,69e 50g 3,05e 3,58e 4,34e
100g 1,02e 100g 3,38e 3,92e 4,68e

Tous ces renseignements auraient pu être condensé dans l’unique tableau suivant :

Lettres : tarif des envois rapides
Jusqu’à Normal R1 R2 R3
20g 0,46e 2,82e 3,35e 4,12e
50g 0,69e 3,05e 3,58e 4,34e
100g 1,02e 3,38e 3,92e 4,68e

Ce tableau est constitué d’un titre, d’une première ligne et d’une colonne de gauche qui précisent la nature des
entrées : masse de la lettre, type de l’envoi, et enfin d’un tableau de nombres.
C’est cette partie du tableau qui va nous intéresser. Un tel tableau de 4 × 3 = 12 nombres est appelé une
matrice à 4 lignes et 3 colonnes, nous le noterons sous la forme suivante :
 
0,46 2,82 3,35 4,12
T = 0,69 3,05 3,58 4,34
1,02 3,38 3,92 4,68
Enlever les lignes indiquant la signification des nombres peut sembler étrange, mais c’est de cette façon que
nous allons relier de nombreux problèmes de natures très différentes, en les mathématisant sous forme d’une ou
plusieurs matrices sur lesquelles nous ferons des calculs.


B Définition générale
Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau de nombres de la forme :

a1,1 ... a1,j ... a1,p
 
 .. .. .. 
 . . . 
A =  ai,1 ... ai,j ... ai,p 
 
 . .. .. 
 .. . . 
an,1 ... an,j ... an,p
ai,j désigne l’élément à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne1 .
Lorsqu’on veut simplement donner un nom aux éléments de cette matrice, on la note en abrégé2 : A =
(ai,j )16i6n , et on dit que ai,j est le terme général de la matrice A.
16j6p
Lorsque n = p, on dit plus simplement que la matrice A est une matrice carrée d’ordre n. Nous en rencontrerons
beaucoup en particulier dans la résolution des systèmes linéaires.
Lorsque n = 1, on dit que A est une matrice ligne. Lorsque p = 1, on dit que A est une matrice matrice colonne,
ou un vecteur colonne (ou plus simplement un vecteur ).

1
selon la convention LI-CO, indiquant que le premier indice est l’indice de ligne, le deuxième l’indice de colonne.
2
et on notera à cette occasion que le convention consiste à numéroter les lignes et les colonnes à partir de 1, contrairement
à de nombreux langages de programmation qui imposent une numérotation à partir de 0. On se demande à quoi pensent les
informaticiens, de temps en temps !


20
C Égalité matricielle
Pour que deux matrices A et B soient égales, il faut :

• qu’elles soient de même taille, c’est-à-dire qu’elles aient le même nombre de lignes et le même nombre de
colonnes,

• et que leurs coefficients de mêmes indices soient égaux deux à deux.
 
0 0

Ainsi, les matrices et 0 0 0 ne sont pas égales, bien qu’elles ne comportent toutes deux que des 0,
0 0
parce qu’elles n’ont pas les mêmes dimensions.


II Calcul matriciel
A Addition matricielle
1 Exemple

Reprenons la matrice T donnant les tarifs postaux et supposons que ces tarifs subissent une augmentation3 .
Voici la matrice H donnant les augmentations pour chacun des tarifs envisagés :
 
0,04 0,25 0,35 0,12
H = 0,06 0,28 0,32 0,41
0,09 0,31 0,37 0,44
Pour obtenir la matrice T 0 des nouveaux tarifs, on constate qu’il suffit d’additionner terme à terme les matrices
T et H :
     
0,46 2,82 3,35 4,12 0,04 0,25 0,35 0,12 0,50 3,07 3,70 4,24
T 0 = T + H = 0,69 3,05 3,58 4,34 + 0,06 0,28 0,32 0,41 = 0,75 3,33 3,90 4,75
1,02 3,38 3,92 4,68 0,09 0,31 0,37 0,44 1,11 3,69 4,29 5,12
Ainsi, le tarif pour une lettre de masse comprise entre 20g et 50g envoyée au tarif recommandé R1 passe de
3,05e à 3,33e.


2 Définition

Si A = (ai,j ) et B = (bi,j ) sont deux matrices à n lignes et p colonnes, la matrice somme de A et B est la
matrice A + B à n lignes et p colonnes dont le terme général ci,j vérifie, pour tout couple d’indices (i, j) tels
que 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p :
ci,j = ai,j + bi,j



3 Propriétés

Nous admettrons les propriétés suivantes, qui simplifieront un certain nombre de calculs : pour toutes matrices
A, B et C à n lignes et p colonnes,

• A+B =B+A

• (A + B) + C = A + (B + C)

• A + 0n,p = A

où l’on a noté 0n,p la matrice à n lignes et p colonnes dont tous les coefficients sont nuls.
On reconnaît des propriétés familières, mais il faut faire attention au fait que les matrices ne se comportent pas
comme de simples nombres. Ce sera particulièrement clair lorsqu’on abordera la multiplication.
3
ce qui n’a rien d’étonnant, quand on connaît les pratiques commerciales de la Poste !


21
B Produit d’une matrice par un réel
1 Exemple

Supposons maintenant que, pour ne pas faire de jaloux, tous les tarifs postaux soient augmentés de façon
uniforme de 10%. Chaque coefficient de la matrice T est alors multiplié par 1,1.
Si T 00 est la nouvelle matrice des tarifs, on convient de noter T 00 = 1,1T . Ainsi :
   
0,46 2,82 3,35 4,12 0,506 3,102 3,685 4,532
T 00 = 1,1T = 1,1 0,69 3,05 3,58 4,34 = 0,759 3,355 3,938 4,774
1,02 3,38 3,92 4,68 1,122 3,718 4,312 5,148


2 Définition

Si A = (ai,j ) est une matrice à n lignes et p colonnes, et si λ est un nombre réel, la matrice produit de la matrice
A par le réel λ est la matrice λA à n lignes et p colonnes dont le terme général di,j vérifie, pour tout couple
d’indices (i, j) tels que 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p :

di,j = λai,j

Notons trois cas particuliers importants :

• si λ = 0, alors4 0.A = 0n,p ;

• si λ = 1, alors 1.A = A ;

• si λ = −1, alors la matrice (−1) .A est plus simplement notée −A ; on l’appelle la matrice opposée de la
matrice A, en raison du fait que A + (−A) = 0n,p .

Cette matrice −A nous permet de définir la soustraction des matrices : on convient que si A et B sont deux
matrices à n lignes et p colonnes, alors la différence de A et B est la matrice

A − B = A + (−B)



3 Propriétés

Nous admettrons les propriétés suivantes : pour toutes matrices A et B à n lignes et p colonnes, et tous réels
λ et µ :

• λ (A + B) = λA + λB

• (λ + µ) A = λA + µA

• λ (µA) = (λµ) A.


C Produit de deux matrices
1 Exemple

Dans une entreprise, deux services s’occupent du courrier : le service « traitement des commandes », noté S1 , et
le service « service après-vente », noté S2 . Voici un tableau résumant les volume de courrier traité par chaque
service :
XXX
XXX Masse 20g 50g 100g
Service XXX
X
S1 50 35 15
...