DERNIÈRE IMPRESSION LE 25 novembre 2014 à 10:38




PGCD - PPCM
Théorèmes de Bézout et de Gauss




Table des matières

1 Plus grand commun diviseur 2
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Plus petit commun multiple 4

3 Théorème de Bézout 4
3.1 Égalité de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Algorithme de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Corollaire de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Le théorème de Gauss 7
4.1 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Corollaire du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8




PAUL MILAN 1 TERMINALE S SPÉ
 TABLE DES MATIÈRES



1 Plus grand commun diviseur

1.1 Définition

Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément D,
appelé plus grand commun diviseur.
On note : D = pgcd( a, b)



Démonstration : Existence

L’ensemble des diviseurs communs à a et b est un ensemble fini car intersection
de deux ensembles finis.
De plus 1 divise a et b donc l’ensemble des diviseurs communs à a et b est non
vide.
Or tout ensemble fini non vide admet un plus petit élément donc D existe.

Exemples :

pgcd(24, 18) = 6
pgcd(60, 84) = 12
pgcd(150, 240) = 30

Propriétés :

• Si b divise a alors pgcd( a, b) = |b|
• Pour tout entier naturel k non nul, on a : pgcd(ka, kb) = k pgcd( a, b).



1.2 Nombres premiers entre eux

Définition 2 : On dit que a et b sont premiers entre eux si et seulement si

pgcd( a, b) = 1




Exemple : pgcd(15, 8) = 1 donc 15 et 8 sont premiers entre eux.

B Il ne faut pas confondre des nombres premiers entre eux et des nombres pre-
miers. 15 et 8 ne sont pas premiers et pourtant ils sont premiers entre eux.
Par contre deux nombres premiers distincts sont nécessairement premiers entre
eux.

PAUL MILAN 2 TERMINALE S SPÉ
 1. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR



1.3 Algorithme d’Euclide

Théorème 1 : Soit a et b deux naturels non nuls tels que b ne divise pas a.
La suite des divisions euclidiennes suivantes finit par s’arrêter. Le dernier
reste non nul est alors le pgcd( a, b)

a par b a = b q0 + r0 avec b > r0 > 0
b par r0 b = r0 q1 + r1 avec r0 > r1 > 0
r0 par r1 r0 = r1 q2 + r2 avec r1 > r2 > 0
.. ..
. .
rn−2 par rn−1 r n −2 = r n −1 q n + r n avec r n −1 > r n > 0
rn−1 par rn r n −1 = r n q n −1 + 0

On a alors pgcd( a, b) = rn .


Démonstration :
• La suite des restes : r0 , r1 , r2 , . . ., rn est une suite strictement décroissante dans
N car r0 > r1 > r2 > · · · > rn .
Cette suite est donc finie. Il existe alors n tel que rn+1 = 0.
Montrons que pgcd( a, b) = pgcd(b, r0 ).
Soit D = pgcd( a, b) et d = pgcd(b, r0 ).
D divise a et b donc D divise a − bq0 = r0 , donc D divise b et r0 donc : D 6 d
d divise b et r0 donc d divise bq0 + r0 = a, donc d divise a et b donc : d 6 D
On déduit de ces deux inégalités que D = d : pgcd( a, b) = pgcd(b, r0 )
• De proche en proche, on en déduit que :
pgcd( a, b) = pgcd(b, r0 ) = · · · = pgcd(rn−2 , rn−1 ) = pgcd(rn−1 , rn )
or rn divise rn−1 , donc pgcd(rn−1 , rn ) = rn
Conclusion : pgcd( a, b) = rn . Le dernier reste non nul est le pgcd.

Exemple :
Calculer le pgcd(4 539, 1 958).
On effectue les divisions euclidiennes suivantes :
4 539 = 1 958 × 2 + 623
1 958 = 623 × 3 + 89
623 = 89 × 7
Conclusion : pgcd(4 539, 1 958) = 89
Remarque : Le petit nombre d’étapes montre la performance de cet algorithme.
Algorithme : Voici un algorithme d’Euclide que l’on peut proposer pour trou-
ver le pgcd de deux nombres. On pourrait éventuellement utiliser l’algorithme
de la division euclidienne à l’intérieur du programme, mais pour les besoins de
simplicité, on utilisera la partie entière pour trouver le quotient.


PAUL MILAN 3 TERMINALE S SPÉ
 TABLE DES MATIÈRES



Variables : a, b, q, r entiers naturels
Entrées et initialisation
Lire a, b
E( a/b) → q
a − bq → r
Traitement
tant que r 6= 0 faire
b→a
r→b
E( a/b) → q
a − bq → r
fin
Sorties : Afficher b



2 Plus petit commun multiple

Définition 3 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
L’ensemble des multiples strictement positifs communs à a et à b admet un
plus petit élément M, appelé plus petit commun multiple.
On le note : M = ppcm( a, b).


Démonstration : Existence
L’ensemble des multiples strictement positifs à a et à b n’est pas vide. En effet | ab|
est un multiple positif de a et de b.
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément donc M existe.
Exemple :
ppcm(18, 12) = 36
ppcm(24, 40) = 120
Pour additionner deux fractions, on recherche le dénominateur commun le plus
petit qui n’est autre que le ppcm.
Propriétés :
• Si b divise a alors ppcm( a, b) = | a|
• Si a et b sont premiers entre eux alors ppcm( a, b) = | ab|
• On a : ab = ppcm( a, b) × pgcd( a, b)


3 Théorème de Bézout
3.1 Égalité de Bézout

Théorème 2 : Soit a et b deux entiers non nuls et D = pgcd( a, b)
Il existe alors un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que :

au + bv = D

PAUL MILAN 4 TERMINALE S SPÉ
 3. THÉORÈME DE BÉZOUT



Démonstration :
Soit G l’ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme
ma + nb où m et n sont des entiers relatifs.
G est une partie de N non vide : on vérifie facilement que | a| ∈ G.
G admet donc un plus petit élément d tel que d = au + bv
• D = pgcd( a, b) divise a et b donc D divise au + bv = d et donc D 6 d
• Montrons que d divise a
Divisons a par d, on a alors a = dq + r avec 0 6 r < d.
On isole le reste et on remplace d par au + bv :
r = a − dq = a − auq − bvq = a(1 − uq) + b(−vq)
Donc r = 0. En effet si r 6= 0 alors r ∈ G, or r < d et d est le plus petit élément
de G, cela est absurde.
r = 0 donc d divise a. En faisant le même raisonnement, on montrerait que d
divise aussi b.
d divise a et b donc d 6 D
• conclusion : D 6 d et d 6 D donc D = d.

Conséquence : Tout diviseur commun à a et b divise leur pgcd.

3.2 Théorème de Bézout

Théorème 3 : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et
seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

au + bv = 1

ROC Démonstration :
Dans le sens ⇒ : Immédiat grâce à l’égalité de Bézout.
Dans le sens ⇐ : (réciproquement)
On suppose qu’il existe deux entiers u et v tels que : au + bv = 1.
Si D = pgcd( a, b) alors D divise a et b donc D divise au + bv.
Donc D divise 1. On a bien D = 1.
Exemple : : Montrer que (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux ∀n ∈ N.
Il s’agit de trouver des coefficients u et v pour que u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1.
−3(2n + 1) + 2(3n + 2) = −6n − 3 + 6n + 4 = 1
∀n ∈ N, il existe u = −3 et v = 2 tel que u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1.
Les entiers (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux.

Exemple : Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux puis déterminer un
couple ( x, y) tel que : 59x + 27y = 1
Pour montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux on effectue l’algorithme d’Eu-
clide et pour déterminer un couple ( x, y), on remonte l’algorithme d’Euclide :


PAUL MILAN 5 TERMINALE S SPÉ
 TABLE DES MATIÈRES


59 = 27 × 2 + 5 (1) 27 × 2 = 5 × 10 + 2 × 2
27 = 5 × 5 + 2 (2) 27 × 2 = 5 × 10 + 5 − 1
5 = 2 × 2 + 1 (3) 27 × 2 = 5 × 11 − 1
5 × 11 = 27 × 2 + 1
59 et 27 sont premiers entre eux.
on multiplie l’égalité (1) par 11
On remonte l’algorithme d’Euclide : 59 × 11 = 27 × 22 + 5 × 11
2×2 = 5−1 59 × 11 = 27 × 22 + 27 × 2 + 1
On multiplie l’égalité (2) par 2 59 × 11 = 27 × 24 + 1

On a donc : 59 × 11 + 27 × (−24) = 1



3.3 Algorithme de Bézout

Il s’agit de déterminer un couple (u; v) Variables : a, b, u, v, m, r entiers
d’entiers relatifs sachant que les entiers Entrées et initialisation
a et b sont premiers entre eux. On doit Lire a, b
0→r
donc avoir : au + bv = 1
0→u
On isole le premier terme : Traitement
au = b(−v) + r tant que r 6= 1 faire
On teste, en incrémentant u, le reste de u+1 → u
au → m
la division de m = au par b. Tant que
si b > 0 alors
le reste est différent de 1, on réitère la m
m−E ×b → r
division. b
sinon
On analysera de plus si le réel b est posi- m 
tif ou non pour déterminer le quotient. m−E +1 ×b → r
b
Une fois u trouvé, on détermine v : fin
1−m fin
v= 1−m
b →v
On teste ce programme avec : a = 59 et b
Sorties : Afficher u et v
b = 27
On trouve alors : u = 11 et v = −24

3.4 Corollaire de Bézout

Théorème 4 : L’équation ax + by = c admet des solutions entières si et
seulement si c est un multiple du pgcd( a, b).


Démonstration :
Dans le sens ⇒
ax + by = c admet une solution ( x0 , y0 ).
Comme D = pgcd( a, b) divise a et b il divise ax0 + by0 .
D divise donc c
Dans le sens ⇐ (réciproquement)
c est un multiple de D = pgcd( a, b).
Donc il existe un entier relatif k tel que : c = kd

PAUL MILAN 6 TERMINALE S SPÉ
 4. LE THÉORÈME DE GAUSS



De l’égalité de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

au + bv = D

En multipliant par k, on obtient :

auk + bvk = kD ⇔ a(uk ) + b(vk ) = c

Donc il existe x0 = uk et y0 = vk tels que ax0 + by0 = c

Exemple : L’équation 4x + 9y = 2 admet des solutions car pgcd(4, 9) = 1 et 2
multiple de 1

L’équation 9x − 15y = 2 n’admet pas de solution car pgcd(9, 15) = 3 et 2 non
multiple de 3



4 Le théorème de Gauss

4.1 Le théorème

Théorème 5 : Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.



ROC Si a divise le produit bc, alors il existe un entier k tel que : bc = ka

Si a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe deux
entiers u et v tels que : au + bv = 1

En multipliant par c, on a :

acu + bcv = c or bc = ka, donc :
ac + kav = c
a(c + kv) = c

Donc a divise c.

Exemple : Trouver les solutions dans Z2 de l’équation : 5( x − 1) = 7y

5 divise 7y, or pgcd(5, 7) = 1, donc d’après le théorème de Gauss 5 divise y. On
a donc : y = 5k

En remplçant dans l’équation, on a :

5( x − 1) = 7 × 5k ⇔x − 1 = 7k ⇔ x = 7k + 1
(
x = 7k + 1
Les solutions sont donc de la forme : k∈Z
y = 5k

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 TABLE DES MATIÈRES



4.2 Corollaire du théorème de Gauss

Théorème 6 : Si b et c divise a et si b et c sont premiers entre eux alors bc
divise a.

ROC Démonstration : : Si b et c divise a, alors il existe k et k′ entiers relatifs tels
que :
a = kb et a = k′ c donc : kb = k′ c
b divise k′ c, or pgcd(b, c) = 1 donc d’après le théorème de Gauss b divise k′
donc : k′ = k′′ b

a = k′ c = k′′ bc
Donc bc divise a.

Exemple : Si 5 et 12 divise a, comme 5 et 12 sont premiers entre eux, 5 × 12 = 60
divise a.

4.3 Propriétés
Ces propriétés découlent du théorème de Bézout et de Gauss.


Propriété 1 : Soit a et b deux entiers non nuls, D leur pgcd et M leur ppcm.
• Il existe deux entiers a′ et b′ premiers entre eux tels que :

a = Da′ et b = Db′

• On a les relations suivantes :

M = Da′ b′ et ab = MD




PAUL MILAN 8 TERMINALE S SPÉ