Probabilité conditionnelles
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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: devils01800
Type : Classeur 3.0.1
Page(s) : 1
Taille Size: 3.60 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 08/05/2013 - 11:10:20
Uploadeur Uploader: devils01800 (Profil)
Téléchargements Downloads: 1376
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a13834
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Probabilités Cours I. Rappels des cours de première (cours 107) : Propriété 1 : une probabilité est un nombre réel toujours compris entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 % lorsque le résultat est donné sous la forme dun pourcentage). Autrement dit, quel que soit lévènement A, on a toujours 0 d P(A) d 1. Propriété 2 : la somme des probabilités de toutes les issues de lunivers est toujours égale à 1. Autrement dit, si lunivers & est constitué de n issues I1, I2, I3, &, In, alors on a légalité suivante P(I1) + P(I2) + P(I3) + & + P(In-1) + P(In) = 1. Cas particulier : la probabilité dun évènement impossible est nulle et la probabilité dun évènement certain est 1. Autrement dit P(Ø) = 0 et P(&) = 1. Propriété 3 : la probabilité dun évènement est la somme des probabilités des issues qui constituent cet évènement. Autrement dit, si lévènement A est constitué de m issues I1, I2, I3, &, Im, alors on a légalité suivante P(A) = P(I1) + P(I2) + P(I3) + & + P(Im-1) + P(Im). Dans le cas où toutes les issues sont équiprobables, cela aboutit à la formule P(A) = nombre dissues de lévènement A nombre dissues de lunivers & Propriété 4 : la somme des probabilités dun évènement et son contraire est toujours égale à 1. Autrement dit, quel que soit lévènement A, P(A) + P( A ) = 1. Propriété 5 : la probabilité de la réunion de deux évènements est la somme des probabilités de ces deux évènements moins la probabilité de leur intersection. Autrement dit, quels que soient les évènements A et B, on a la formule P(AUB) = P(A) + P(B) P(A)B). Si les évènements A et B sont incompatibles (ils nont pas dissues en commun, autrement dit A)B = Ø), alors P(A)B) = 0 et P(AUB) = P(A) + P(B). Propriété 6 : comme les évènements A)B et A) B sont incompatibles et que leur réunion est égale à lévènement A on obtient la formule P(A) = P(A)B) + P(A) B ). II. Probabilité conditionnelle : Définition : Soient deux évènement A et B tels que P(A) ` 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre PA(B) = P(A)B) P(A) . Explication : comme son nom lindique, la probabilité conditionnelle vérifie si une certaine condition est réalisée : ici on vérifie que lévènement A est réalisé (on comprend dailleurs pourquoi P(A) soit être différent de 0 ; car si tel est le cas, cela signifie que lévènement est impossible, et que par conséquent la condition est irréalisable !). Et parmi les issues qui constituent lévènement A, on ne tient compte que des issues qui constituent lévènement B, doù le A)B qui apparaît dans la formule. Exemple : sur 345 patients, 207 ont moins de 20 ans. On sait de plus que 69 patients ont moins de 20 ans et sont hospitalisés pour une opération. Si A = « avoir moins de 20 ans » et B = « être hospitalisé pour une opération », alors P(A)B) = 69345 = 0,2 et P(A) = 207345 =0,6. La probabilité que le patient soit là pour une opération sachant quil a moins de 20 ans est alors de PA(B) = P(A)B) P(A) = 0,2 0,6 = 1 3 . (On aurait pu faire directement 69207 mais hélas ce nest toujours aussi facile&) Propriété : si les évènements A et B sont possibles (i.e. P(A) ` 0 et P(B) ` 0), alors on a les égalités suivantes P(A)B) = P(A)×PA(B) et P(A)B) = P(B)×PB(A). Cette propriété est appelée propriété de réversibilité. Corollaires : daprès la propriété 6 et la propriété précédente on a légalité P(A) = P(B)×PB(A) + P( B )×P B (A) Daprès la propriété 6 et la propriété 4 on a légalité : 1 = PA(B) + PA( B ). III. Evènements indépendants : Définition : lorsque la réalisation de lévènement A ne dépend pas de la réalisation de lévènement B, et inversement, on dit que les deux évènements sont indépendants. Autrement dit on a PB(A) = P(A) et PA(B) = P(B). Propriété : soient A et B deux évènements de probabilités non nulles. Les évènements A et B sont indépendants si, et seulement si, légalité P(A)B) = P(A)×P(B)est vérifiée. Exemple : considérons lévènement A = « avoir une fille en premier enfant » et lévènement B = « avoir une fille en deuxième enfant ». Les évènements A et B ont bien une probabilité non nulles puisquà chaque naissance, on a 1 chance sur 2 davoir une filles. En outre, les évènements A et B sont indépendants (les naissances passées et futures nont aucun effet sur le genre dun enfant). Lévènement A)B se traduit par « avoir une fille en premier enfant ET une fille en deuxième enfant ». Daprès la formule : P(A)B) = P(A)×P(B) = 12×12 =144 = 25 %. Remarques importantes : Deux évènements indépendants ne sont pas incompatibles. Deux évènements incompatibles ne sont pas indépendants.
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Probabilités Cours I. Rappels des cours de première (cours 107) : Propriété 1 : une probabilité est un nombre réel toujours compris entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 % lorsque le résultat est donné sous la forme dun pourcentage). Autrement dit, quel que soit lévènement A, on a toujours 0 d P(A) d 1. Propriété 2 : la somme des probabilités de toutes les issues de lunivers est toujours égale à 1. Autrement dit, si lunivers & est constitué de n issues I1, I2, I3, &, In, alors on a légalité suivante P(I1) + P(I2) + P(I3) + & + P(In-1) + P(In) = 1. Cas particulier : la probabilité dun évènement impossible est nulle et la probabilité dun évènement certain est 1. Autrement dit P(Ø) = 0 et P(&) = 1. Propriété 3 : la probabilité dun évènement est la somme des probabilités des issues qui constituent cet évènement. Autrement dit, si lévènement A est constitué de m issues I1, I2, I3, &, Im, alors on a légalité suivante P(A) = P(I1) + P(I2) + P(I3) + & + P(Im-1) + P(Im). Dans le cas où toutes les issues sont équiprobables, cela aboutit à la formule P(A) = nombre dissues de lévènement A nombre dissues de lunivers & Propriété 4 : la somme des probabilités dun évènement et son contraire est toujours égale à 1. Autrement dit, quel que soit lévènement A, P(A) + P( A ) = 1. Propriété 5 : la probabilité de la réunion de deux évènements est la somme des probabilités de ces deux évènements moins la probabilité de leur intersection. Autrement dit, quels que soient les évènements A et B, on a la formule P(AUB) = P(A) + P(B) P(A)B). Si les évènements A et B sont incompatibles (ils nont pas dissues en commun, autrement dit A)B = Ø), alors P(A)B) = 0 et P(AUB) = P(A) + P(B). Propriété 6 : comme les évènements A)B et A) B sont incompatibles et que leur réunion est égale à lévènement A on obtient la formule P(A) = P(A)B) + P(A) B ). II. Probabilité conditionnelle : Définition : Soient deux évènement A et B tels que P(A) ` 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre PA(B) = P(A)B) P(A) . Explication : comme son nom lindique, la probabilité conditionnelle vérifie si une certaine condition est réalisée : ici on vérifie que lévènement A est réalisé (on comprend dailleurs pourquoi P(A) soit être différent de 0 ; car si tel est le cas, cela signifie que lévènement est impossible, et que par conséquent la condition est irréalisable !). Et parmi les issues qui constituent lévènement A, on ne tient compte que des issues qui constituent lévènement B, doù le A)B qui apparaît dans la formule. Exemple : sur 345 patients, 207 ont moins de 20 ans. On sait de plus que 69 patients ont moins de 20 ans et sont hospitalisés pour une opération. Si A = « avoir moins de 20 ans » et B = « être hospitalisé pour une opération », alors P(A)B) = 69345 = 0,2 et P(A) = 207345 =0,6. La probabilité que le patient soit là pour une opération sachant quil a moins de 20 ans est alors de PA(B) = P(A)B) P(A) = 0,2 0,6 = 1 3 . (On aurait pu faire directement 69207 mais hélas ce nest toujours aussi facile&) Propriété : si les évènements A et B sont possibles (i.e. P(A) ` 0 et P(B) ` 0), alors on a les égalités suivantes P(A)B) = P(A)×PA(B) et P(A)B) = P(B)×PB(A). Cette propriété est appelée propriété de réversibilité. Corollaires : daprès la propriété 6 et la propriété précédente on a légalité P(A) = P(B)×PB(A) + P( B )×P B (A) Daprès la propriété 6 et la propriété 4 on a légalité : 1 = PA(B) + PA( B ). III. Evènements indépendants : Définition : lorsque la réalisation de lévènement A ne dépend pas de la réalisation de lévènement B, et inversement, on dit que les deux évènements sont indépendants. Autrement dit on a PB(A) = P(A) et PA(B) = P(B). Propriété : soient A et B deux évènements de probabilités non nulles. Les évènements A et B sont indépendants si, et seulement si, légalité P(A)B) = P(A)×P(B)est vérifiée. Exemple : considérons lévènement A = « avoir une fille en premier enfant » et lévènement B = « avoir une fille en deuxième enfant ». Les évènements A et B ont bien une probabilité non nulles puisquà chaque naissance, on a 1 chance sur 2 davoir une filles. En outre, les évènements A et B sont indépendants (les naissances passées et futures nont aucun effet sur le genre dun enfant). Lévènement A)B se traduit par « avoir une fille en premier enfant ET une fille en deuxième enfant ». Daprès la formule : P(A)B) = P(A)×P(B) = 12×12 =144 = 25 %. Remarques importantes : Deux évènements indépendants ne sont pas incompatibles. Deux évènements incompatibles ne sont pas indépendants.
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