Coordonnées sphériques : complément
Projection de la base (~ur , ~uθ , ~uϕ ) sur (~ux , ~uy , ~uz )




On introduit le vecteur unitaire ~uρ situé dans le
plan xOy, tel que (~ux , ~uρ ) = ϕ.
~uρ se situe donc également dans le plan méridien
passant par M .




On se place dans le plan méridien M Oz. Ce plan
contient donc O, ~uz et ~uρ ainsi que les vecteurs ~ur
et ~uθ . Par projection :
 →−
ur = sin θ →
−
uρ + cos θ →
−
uz
→
− →
− →
−
uθ = cos θ uρ − sin θ uz




On se place dans le plan xOy. Par projection :
 →−
uρ = cos ϕ →
−
ux + sin ϕ →
−
uy
−
uϕ = − sin ϕ ux + cos ϕ →
→ →
− −
uy



On en déduit :
 →
−
ur = sin θ →
−
uρ + cos θ →
−
uz = sin θ(cos ϕ →
−
ux + sin ϕ →
−
uy ) + cos θ →
−
uz
→
−
uθ = cos θ uρ − sin θ uz = cos θ(cos ϕ ux + sin ϕ uy ) − sin θ →
→
− →
− →
− →
− −
uz
On a ainsi établi les relations de projection :

→
−ur = sin θ(cos ϕ →
−
ux + sin ϕ →
−
uy ) + cos θ →
−
uz
→
− →
− →
− →
−
uθ = cos θ(cos ϕ ux + sin ϕ uy ) − sin θ uz
−
u→ = − sin ϕ →−
u + cos ϕ → −
u
ϕ x y
 Déplacement élémentaire



Composante suivant ~ur

On fait varier r à ϕ et θ fixés. Le déplacement
s’effectue radialement et donc parallèlement à ~ur .
Il vaut

dr ~ur




Composante suivant ~uθ

On fait varier θ à r et ϕ fixés. Le déplacement
s’effectue alors le long d’un cercle méridien et vaut

rdθ ~uθ




Composante suivant ~uϕ

On fait varier ϕ à r et θ fixés. Le déplacement
s’effectue alors le long d’un cercle parallèle et vaut

r sin θdϕ ~uϕ




On retrouve bien graphiquement les trois composantes du déplacement élémentaire :

−−→
dOM = dr →
−
ur + rdθ →
−
uθ + r sin θdϕ −
u→
ϕ