1. Considere um cilindro fechado com altura 2m e
diâmetro das bases igual a 2 m, que está cheio de
mercúrio (d=13,6). O cilindro está inclinado formando
um ângulo de 30º com a horizontal (ângulo de qualquer
geratriz da face lateral com a horizontal). Calcule a
impulsão sobre a base inferior do cilindro. (3,0 val.)




h1


30º



0 0
A altura h1 vale h1=1 m×cos (30 )+2 m×sen (30 )=1,866 m

−3 −3
O peso volúmico do líquido é γ Hg=13,6×9800 N m =133280 N m

A área da base é A B =π×( 1m)2=3,1416 m2

−3 2
A impulsão hidrostática vale I H =133280 N m ×1,866 m×3,1416 m =781317 N eé
normal à base do cilindro.

O momento de inércia da área da base em relação a um eixo horizontal baricêntrico é

I B= π ×(1 m)4 =0,7854 m 4
4

O ponto de aplicação da impulsão hidrostática está abaixo do centróide da base uma
distância medida ao longo da reta de maior declive igual a

0,7854 m4
d= =0,116 m
3,1416 m2×1,866/cos 30 0
 2. Numa secção de uma conduta existe uma derivação
horizontal em “tê” com Ø 500x500, onde circula água.
Considere que a pressão na secção A é 20 kPa. A
velocidade de chegada ao acessório (na secção A) é de
2 m/s e o caudal reparte-se igualmente pelas duas
saídas. Despreze as perdas de carga localizadas.
Determine a força necessária para manter o acessório
imóvel. (2,5 val.)



A área de qualquer uma das secções do tê é

A=π×(0,250 m)2 =0,1963 m2

Como o caudal se reparte igualmente pela secção à direita e pela secção em baixo e
todas as secções têm a mesma área, U d =U b =U A /2=1 m s−1 . Assim o fluxo da
quantidade de movimento que sai à direita e em baixo vale
−3 −1 2 2
M d=M b =1000 kg m ×( 1m s ) ×0,1963 m =196,3 N

enquanto o fluxo da quantidade de movimento que entra na secção A é
−3 −1 2 2
M A=1000 kg m ×(1 m s ) ×0,1963 m =785,2 N

Considere-se nula a cota do eixo do tê, isto é z A=z d =z b=0 m

−1 2
20 kPa (2 ms )
A carga na secção A vale H A =0 m+ −3
+ −2
=2,245 m
9,8 kN m 2×9,8 m s

Como não há perdas de carga, esta será também a carga na secção à direita e na
secção em baixo, ou seja

H d =H b=H A =2,245 m . Logo a pressão naquelas duas secções pode calcular-se por
−1 2
(1 m s ) −3
pd =p b=(2,245 m−0 m− −2
)×9,8 kN m =21,501kPa
2×9,8 m s

A força de contacto em cada uma daquelas secções é

Πd =Πb=21501 Pa×0,1963 m2=4220,6 N

2
enquanto a força de contacto na secção A é Π A =20000 Pa×0,1963 m =3926,0 N

A força de contacto segundo o eixo Ad, a componente “horizontal” da força que é
necessário exercer sobre o tê para o manter imóvel é dirigida de d para A e vale

Πx =3926,0 N +785,2 N−4220,6 N−196,3 N=294,3 N

A força de contacto “vertical” é dirigida de “cima” para “baixo” e vale
 Π y =4220,6 N + 196,3 N =4416,9 N

3. Na instalação da figura a bomba colocada em B eleva um caudal de 0,1 m 3/s
quando a válvula C2 está fechada e as outras estão abertas. Nessa situação, não
existe circulação de caudal em CE. A bomba funciona com rendimento  = 0,8.
Todas as condutas têm o mesmo diâmetro e rugosidade. Os comprimentos das
condutas são os seguintes: lBC = 1500 m; lCD = 2500 m; lCE = 2000 m; lCF = 1000 m.
(Líquido:  = 10 kN/m3; tv = 10 kPa;  = 10-6 m2/s). Despreze as perdas de carga
localizadas.




a) Considere que o nível da superfície livre dos reservatórios se mantém constante.
Calcule a potência absorvida pela bomba nas condições de funcionamento
descritas. (2 val.)
Não havendo escoamento na conduta EC quando a válvula C1 está aberta tal implica que
não perdas de carga entre E e C logo a carga em C é igual à carga em E, isto é
H C =H E=90 m .

Sendo desprezáveis as perdas de carga localizadas J EC =(90 m−80 m)/ 2000 m=5×10−3 .
A conduta BC é idêntica à conduta CD logo a perda de carga unitária em CD é igual à
perda de carga unitária em BC.
A carga a jusante da bomba é H B+=90 m+5×10−3×1500 m=97,5 m
A variação da carga na bomba é Δ H B=97,5 m−20 m=77,5 m e a potência absorvida pela
bomba é Pot=9800 N m−3×0,1 m 3 s−1 ×77,5 m/0,8=94937,5 W


b) Considere que as válvulas C1 e C2 estão fechadas e as outras abertas. As
soleiras dos reservatórios estão 5 m abaixo da superfície livre do líquido. Trace as
envolventes das piezométricas máximas e mínimas atingidas com a paragem da
bomba. O diâmetro das condutas é 300 mm e a celeridade das ondas elásticas é
1000 m/s (Se não resolveu a alínea anterior considere Ht = 76 m). (3,0 val.)
A área da secção do escoamento é A=π×(0,150 m)2 =7,069×10−2 m2 e a velocidade
média do escoamento em regime permanente é
3 −1 −2 2 −1
U 0=0,1m s /7,069×10 m =1,415 m s


O comprimento da conduta sujeito ao golpe de aríete é
L=1500 m+2000 m=3500 m>1500 m logo K=1,0
H elev 77,5 m
= =0,022<0,2 logo C=1,0 s
L 3500 m


1,0×3500 m×1,415 m s−1
O tempo de anulação do caudal é T a=1,0 s + =7,52 s
9,8 m s−2×77,5 m


o tempo de reflexão da onda de choque é 2 L /c=2×3500 m/1000 ms−1=7 s


Como o tempo de anulação do caudal é maior que o tempo de reflexão da onda de
choque, a manobra é lenta.


2×3500m×1,415m s−1
Δ H= =134,40 m
9,8 m s−2×7,52 s
A envolvente da piezométrica não tem patamar junto à bomba. Aí a envolvente oscila
entre H min =80 m−134,40 m=−54,40 m e H max =80 m+ 134,40m=214,40m . O ponto de
oscilação mínima da envolvente ocorre junto a D tendo-se aí H min =H max =80 m .


c) Comente os resultados indicados pela envolvente de pressões mínimas. (1,0 val.)
O valor da pressão mínima previsto a partir da envolvente será
−3 −2 −2
pminabs =9800 N m ×(−54,40 m−15 m)+101234 N m =−578886 N m
Este valor é claramente inferior à tensão de saturação de vapor pelo que ocorrerá
cavitação no trecho da conduta imediatamente a jusante da bomba.




d) Considere agora que as válvulas C1 e C2 estão abertas e que as válvulas C3, C4
e C5 estão fechadas. Em CF existe consumo de percurso de 0,02 l/s/m. Tome K =
100 m1/3 s-1. Determine o caudal que circula em EC nestas condições. (3,0 val.)
Seja QEC o caudal que circula em EC, a perda de carga unitária em EC vale


2 1/3 −1 −2 2/3 2 2
J EC =QEC /(100m s ×7,069×10 ×(0,075 m) ) =0,6327 Q EC
o caudal de percurso em CF é QCFp=0,02×10−3 m3 s−1 m−1×1000 m=0,02m3 s−1 e o caudal
equivalente em CF é
3 −1 3 −1
QCFeq =QEC −0,45×0,02 m s =QEC −0,009 m s


e a perda de carga unitária equivalente em CF vale
J CFeq =0,6327(Q EC −0,009)2
Escrevendo o teorema de Bernoulli entre E e F tem-se
2 2
H F =10 m=90 m−0,6327 QEC ×2000 m−0,6327(Q EC −0,009) ×1000 m
2 −6
0,126442=3 Q EC −0,018 QEC +81×10

0,018±√ 0,0182 +4×3×0,126361
QEC = =0,208 m3 s−1
2×3


e) Determine a rugosidade relativa da conduta EC se o caudal que nela circula for
0,208 m3/s e a perda de carga unitária J EC =0,6328 Q2Ec . (2,0 val.)

A perda de carga unitária é J =0,6238×( 0,208 m3 s−1)2=0,02699

A velocidade média do escoamento é U=0,208 m3 s−1 /7,069×10−2 m2 =2,942m s−1 e o
número de Reynolds do escoamento é Re=2,942m s−1×0,3 m/10−6 m2 s−1=8,8×105

A altura cinétia do escoamento U 2 /2 g=(2,942m s−1)2 /(2×9,8 m s−2 )=0,442 m

e o factor de resistência é f =0,02699×0,3 m/0,442 m=0,018

Utilizando o ábaco de Moody, conclui-se que k / D=0,0007

4. Considere uma conduta ligada a um reservatório, na extremidade da qual existe
uma válvula de globo cuja manobra de fechamento se inicia em t 0,5s e de tal
forma que o caudal varia linearmente com o tempo. A figura representa a
evolução no tempo da variação de pressão numa secção dessa conduta. Sabendo
que a velocidade de propagação da onda elástica resultante do fechamento da
válvula é de 1000 m/s,
 a) Determine a duração da manobra de fecho da válvula. Justifique.(1,0 val.)
Entre o instante t=1,0 s e o instante t=2,5 s vão chegando à secção as ondas de
choque criadas pela anulação do caudal na válvula. Assim o tempo de anulaçã...