20/06/2017 Fiche A-savoir-refaire - Les nombres complexes - Mathématiques Terminale - Afterclasse




Les nombres complexes

 FORMULES ET THÉORÈMES




Carré du nombre i


On définit le nombre i de la façon suivante.
i2 = −1




Forme algébrique d'un nombre complexe


Tout nombre complexe z  peut s'écrire sous
z = a + ib  
une forme algébrique.
Re(z) = a (partie réelle de z ) 
Im(z) = b (partie imaginaire de 




Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe


Tout nombre complexe z  peut s'écrire sous
z = r(cos(θ) + i sin(θ)  
une forme trigonométrique.
r est le module de z . 
θ est un argument de z .




Notation exponentielle


Un nombre complexe z , de module r  et
d'argument θ  a la forme exponentielle reiθ
suivante :




Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique




http://www.afterclasse.fr/#!fiche/127/les-nombres-complexes/formules-et-theoremes 1/4
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Si z  admet la forme trigonométrique 
Re(z) = r cos(θ)  
z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors :
Im(z) = r sin(θ)




Définition du conjugué


= a + ib, où a et b sont des réels. 
Soit z
z¯ = a − ib  
On appelle  z¯ le conjugué de z .
z z¯ = a2 + b2




Propriétés du conjugué


Soient z  et z ′  deux nombres complexes.
z + z ′ = z¯ + z¯′   
z × z ′ = z¯ × z¯′   
z z¯
( ′ ) = ¯′ , si z ′ ≠ 0
z z



Définition du module


Soit z= a + ib, où a et b sont des réels.  
∣z∣ = √a2 + b2
On note ∣z∣ le module de z .




Propriétés du module


Soient z  et z ′  deux nombres complexes, et n
∣z∣ = √zz¯  
un entier naturel.
∣z n ∣ = ∣z∣n   
∣zz ′ ∣ = ∣z∣∣z ′ ∣ 
 
z ∣z∣
∣ ′ ∣ = ′ , si z ′  n'est pas nul 
z ∣z ∣
 
∣z + z ∣ ≤ ∣z∣ + ∣z ′ ∣
′




Argument d'un nombre complexe

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Soit z  un nombre complexe non nul et M  le
⃗ ).
arg(z) = (u⃗; OM
point du plan dont il est l'affixe.




Argument et opérations


Soient z  et z ′  deux nombres complexes, et n
arg(z n ) = n arg(z)  
un entier naturel.
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
z
arg( ′ ) = arg(z) − arg(z ′ ) 
z
arg(−z) = arg(z) + π   
arg( z¯) = − arg(z)




Définition de l'affixe d'un point


Soit M un point de coordonnées (x; y) dans
le plan muni du repère orthonormé (O; u⃗, v )⃗ .   zM = x + iy
On note zM  son affixe, définie comme suit.




Définition de l'affixe d'un vecteur


Soit w⃗ un vecteur du plan de coordonnées 
(x, y).   zw = x + iy
On note zw  son affixe, définie comme suit.




Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes


Soient A et B  deux points du plan.  
AB = ∣zA − zB ∣
On note zA  et zB  leurs affixes respectives.




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