Nbre complexe
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Téléchargements Downloads: 8
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1061847
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Description
20/06/2017 Fiche A-savoir-refaire - Les nombres complexes - Mathématiques Terminale - Afterclasse
Les nombres complexes
FORMULES ET THÉORÈMES
Carré du nombre i
On définit le nombre i de la façon suivante.
i2 = −1
Forme algébrique d'un nombre complexe
Tout nombre complexe z peut s'écrire sous
z = a + ib
une forme algébrique.
Re(z) = a (partie réelle de z )
Im(z) = b (partie imaginaire de
Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe
Tout nombre complexe z peut s'écrire sous
z = r(cos(θ) + i sin(θ)
une forme trigonométrique.
r est le module de z .
θ est un argument de z .
Notation exponentielle
Un nombre complexe z , de module r et
d'argument θ a la forme exponentielle reiθ
suivante :
Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique
http://www.afterclasse.fr/#!fiche/127/les-nombres-complexes/formules-et-theoremes 1/4
20/06/2017 Fiche A-savoir-refaire - Les nombres complexes - Mathématiques Terminale - Afterclasse
Si z admet la forme trigonométrique
Re(z) = r cos(θ)
z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors :
Im(z) = r sin(θ)
Définition du conjugué
= a + ib, où a et b sont des réels.
Soit z
z¯ = a − ib
On appelle z¯ le conjugué de z .
z z¯ = a2 + b2
Propriétés du conjugué
Soient z et z ′ deux nombres complexes.
z + z ′ = z¯ + z¯′
z × z ′ = z¯ × z¯′
z z¯
( ′ ) = ¯′ , si z ′ ≠ 0
z z
Définition du module
Soit z= a + ib, où a et b sont des réels.
∣z∣ = √a2 + b2
On note ∣z∣ le module de z .
Propriétés du module
Soient z et z ′ deux nombres complexes, et n
∣z∣ = √zz¯
un entier naturel.
∣z n ∣ = ∣z∣n
∣zz ′ ∣ = ∣z∣∣z ′ ∣
z ∣z∣
∣ ′ ∣ = ′ , si z ′ n'est pas nul
z ∣z ∣
∣z + z ∣ ≤ ∣z∣ + ∣z ′ ∣
′
Argument d'un nombre complexe
http://www.afterclasse.fr/#!fiche/127/les-nombres-complexes/formules-et-theoremes 2/4
20/06/2017 Fiche A-savoir-refaire - Les nombres complexes - Mathématiques Terminale - Afterclasse
Soit z un nombre complexe non nul et M le
⃗ ).
arg(z) = (u⃗; OM
point du plan dont il est l'affixe.
Argument et opérations
Soient z et z ′ deux nombres complexes, et n
arg(z n ) = n arg(z)
un entier naturel.
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
z
arg( ′ ) = arg(z) − arg(z ′ )
z
arg(−z) = arg(z) + π
arg( z¯) = − arg(z)
Définition de l'affixe d'un point
Soit M un point de coordonnées (x; y) dans
le plan muni du repère orthonormé (O; u⃗, v )⃗ . zM = x + iy
On note zM son affixe, définie comme suit.
Définition de l'affixe d'un vecteur
Soit w⃗ un vecteur du plan de coordonnées
(x, y). zw = x + iy
On note zw son affixe, définie comme suit.
Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes
Soient A et B deux points du plan.
AB = ∣zA − zB ∣
On note zA et zB leurs affixes respectives.
...
Les nombres complexes
FORMULES ET THÉORÈMES
Carré du nombre i
On définit le nombre i de la façon suivante.
i2 = −1
Forme algébrique d'un nombre complexe
Tout nombre complexe z peut s'écrire sous
z = a + ib
une forme algébrique.
Re(z) = a (partie réelle de z )
Im(z) = b (partie imaginaire de
Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe
Tout nombre complexe z peut s'écrire sous
z = r(cos(θ) + i sin(θ)
une forme trigonométrique.
r est le module de z .
θ est un argument de z .
Notation exponentielle
Un nombre complexe z , de module r et
d'argument θ a la forme exponentielle reiθ
suivante :
Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique
http://www.afterclasse.fr/#!fiche/127/les-nombres-complexes/formules-et-theoremes 1/4
20/06/2017 Fiche A-savoir-refaire - Les nombres complexes - Mathématiques Terminale - Afterclasse
Si z admet la forme trigonométrique
Re(z) = r cos(θ)
z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors :
Im(z) = r sin(θ)
Définition du conjugué
= a + ib, où a et b sont des réels.
Soit z
z¯ = a − ib
On appelle z¯ le conjugué de z .
z z¯ = a2 + b2
Propriétés du conjugué
Soient z et z ′ deux nombres complexes.
z + z ′ = z¯ + z¯′
z × z ′ = z¯ × z¯′
z z¯
( ′ ) = ¯′ , si z ′ ≠ 0
z z
Définition du module
Soit z= a + ib, où a et b sont des réels.
∣z∣ = √a2 + b2
On note ∣z∣ le module de z .
Propriétés du module
Soient z et z ′ deux nombres complexes, et n
∣z∣ = √zz¯
un entier naturel.
∣z n ∣ = ∣z∣n
∣zz ′ ∣ = ∣z∣∣z ′ ∣
z ∣z∣
∣ ′ ∣ = ′ , si z ′ n'est pas nul
z ∣z ∣
∣z + z ∣ ≤ ∣z∣ + ∣z ′ ∣
′
Argument d'un nombre complexe
http://www.afterclasse.fr/#!fiche/127/les-nombres-complexes/formules-et-theoremes 2/4
20/06/2017 Fiche A-savoir-refaire - Les nombres complexes - Mathématiques Terminale - Afterclasse
Soit z un nombre complexe non nul et M le
⃗ ).
arg(z) = (u⃗; OM
point du plan dont il est l'affixe.
Argument et opérations
Soient z et z ′ deux nombres complexes, et n
arg(z n ) = n arg(z)
un entier naturel.
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
z
arg( ′ ) = arg(z) − arg(z ′ )
z
arg(−z) = arg(z) + π
arg( z¯) = − arg(z)
Définition de l'affixe d'un point
Soit M un point de coordonnées (x; y) dans
le plan muni du repère orthonormé (O; u⃗, v )⃗ . zM = x + iy
On note zM son affixe, définie comme suit.
Définition de l'affixe d'un vecteur
Soit w⃗ un vecteur du plan de coordonnées
(x, y). zw = x + iy
On note zw son affixe, définie comme suit.
Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes
Soient A et B deux points du plan.
AB = ∣zA − zB ∣
On note zA et zB leurs affixes respectives.
...