BAC 2009: La calculatrice nous trompe

[critor]

Tu brûles...
Ce sera bientôt cuit!

[Levak]

au passage (puisqu'on parle de la meme chose), dans la bibliothèque maths.h, l'exponentielle comprend un nombre fini de décimales et ce quel que soit le type choisi.

c'est quoi cette librairie ?

[critor]

c'est pour avoir des fonctions mathématiques
(trigo, racines, logarithmes, exponentielles...)

[Levak]

c'est pour avoir des fonctions mathématiques
(trigo, racines, logarithmes, exponentielles...)

on parle de calto ou de C là ?
parce que "math.h" j'ai un doute qu'on parle de calto, mais comme on sait que tout est possible

[critor]

(C)
C'était la parenthèse C.

[Levak]

(C)
C'était la parenthèse C.

oui fermons la, parce qu'on comprend plus rien xD

Et sinon mon feuilleton il est pas encore passé
raah j'attends j'attends, mais je ne vois rien apparaître, la réponse !!

[critor]

Episode 6:

Dans l'épisode précédent, nous utilisions les suites mathématiquement identiques:
u(n)=(10^-n)
v(n)=1+(10^-n)-1

Et sur le tableau de valeurs affiché par une TI-82/83/84, nous constations une anomalie à partir du rang 13:

Bref, 1+(10^-13)-1=0 ...


Pour comprendre ce qu'il se passe, il faut penser les calculs, comme la machine.
Et donc, commençons à nous poser la question: pour la machine, c'est quoi un nombre?


Vous croyiez que votre calculatrice travaillait sur l'ensemble des réels?
Et bien non, même si elle fait tout pour vous en donner l'illusion...

En mémoire la calculatrice code toute valeur sur seulement 13 chiffres significatifs signés, munis d'une puissance de 10 signée sur 2 chiffres significatifs, bref des nombres décimaux.
Cela donne la forme suivante:
[tableborder=1][table border=0][table border=1]+/-_[/table],[tableborder=1]____________[/table]*10^[tableborder=1]+/-__[/table][/table]
[/table]

Cela ne laisse qu'environ 2*10^13*2*10^2=4*10^15 nombres décimaux différents (4 millions de milliards)
Comme il existe une infinité de nombre décimaux, qui de plus ne sont qu'un sous-ensemble des réels, on en est très loin...


Il est absolument impossible pour la calculatrice d'écrire/mémoriser quoi que ce soit en dehors de ce tableau.

Par exemple 123,45 est codé en mémoire comme:
[tableborder=1][table border=0][table border=1]+1[/table],[tableborder=1]234500000000[/table]*10^[tableborder=1]+02[/table][/table]
[/table]



Bref, la calculatrice manipule des notations scientifiques (vu en Troisième).
Et pour faire des additions/soustractions en notation scientifique, je vous rappelle qu'il faut convertir sous la même puissance de 10...


Alors essayez de faire le calcul 1+(10^-13)-1 en n'inscrivant que des valeurs DANS le tableau vierge ci-dessus.

[ced78fr]

et la réponse et bien sûr 0 !!!
10⁻13 sort du tableau lors de addition et la calculatrice pert sa valeur alors que dans l'autre cas elle garde la valeur car elle ne fait pas d'opération !

sujet très instructif, je l'avoue
j'ai rien posté encore pour pas le polluer (c'est trop tard maintenant )

super important ce que dit critor2000 dans son dernier post, faut jamais l'oublier !

[Marco]

Exactement, on dirait pas quand on l'utilise mais la TI8*+ a 14 chiffres significatifs, on peut s'en rendre compte en utilisant le solver ou des listes

[critor]

Bravo Xywez et Marco!


Episode 7:

Dans l'épisode précédent, nous nous apprêtions donc à calculer 1+(10^-13)-1 comme une calculatrice, cad sur 13 chiffres significatifs...

Donc cela donne:
[tableborder=1][table border=0][table border=1]
[table border=0][table border=1]+1[/table],[tableborder=1]000000000000[/table]*10^[tableborder=1]+00[/table][/table]
[/table]
+[tableborder=1]
[table border=0][table border=1]+1[/table],[tableborder=1]000000000000[/table]*10^[tableborder=1]-13[/table][/table]
[/table]
[/table]
[/table]

Il nous faut donc mettre ces 2 nombres à la même puissance de 10.
Par exemple, décalons le 2ème nombre vers la droite, afin d'augmenter sa puissance de 10:

[tableborder=1][table border=0][table border=1]
[table border=0][table border=1]+1[/table],[tableborder=1]000000000000[/table]*10^[tableborder=1]+00[/table][/table]
[/table]
+[tableborder=1]
[table border=0][table border=1]+0[/table],[tableborder=1]100000000000[/table]*10^[tableborder=1]-12[/table][/table]
[/table]
[/table]
[/table]

Si nous continuons ainsi, on finit par arriver à:


[tableborder=1][table border=0][table border=1]
[table border=0][table border=1]+1[/table],[tableborder=1]000000000000[/table]*10^[tableborder=1]+00[/table][/table]
[/table]
+[tableborder=1]
[table border=0][table border=1]+0[/table],[tableborder=1]000000000001[/table]*10^[tableborder=1]-01[/table][/table]
[/table]
[/table]
[/table]

Les nombres ne sont pas encore tout à fait sous la même puissance de 10... Attention à la dernière étape:


[tableborder=1][table border=0][table border=1]
[table border=0][table border=1]+1[/table],[tableborder=1]000000000000[/table]*10^[tableborder=1]+00[/table][/table]
[/table]
+[tableborder=1]
[table border=0][table border=1]+0[/table],[tableborder=1]000000000000[/table]1*10^[tableborder=1]-00[/table][/table]
[/table]
[/table]
[/table]

Aille... Le 1 est sorti du tableau... Et donc pour la calculette il n'existe plus!
La calculette a perdu tous ses chiffres significatifs dans le deuxième nombre, qui vaut maintenant 0.

Donc pour la calculette, 1+10^-13-1=1+0-1=1-1=0.


Êtes-vous donc capable de formuler une condition mathématique, pour que dans une addition/soustraction, l'un des nombres perde tous ses chiffres significatifs?

Maintenant que le problème est compris, nous allons tenter d'adapter son explication au sujet d'Inde.

A suivre...