[Exercices Maths Laurae #9] Spécialité #2

[Adriweb]

La solution de laurae me semble bien

[Marka]

Deuxième méthode (ça trouve la majorité des solutions càd x=y (mais pas les couples {2,4} et {4,2} )) (bon ma méthode utilise pas trop les outils de spé ):
x^y = y^x
ssi ln(x^y) = ln(y^x) (car à x on associe ln(x) est croissante sur 0;+inf (bornes ouvertes) et car x et y sont des entiers positifs)
ssi yln(x) = xln(y)
ssi ln(x)/x = ln(y)/y
ssi x = y
Voilà
Reste à trouver les couples {2,4} et {4,2} (qui marchent également dans l'expression ln(x)/x = ln(y)/y ..)

[Hayleia]

ssi ln(x)/x = ln(y)/y
ssi x = y

Ça ne marche que si x→ln(x)/x est bijective, ce qui n'est sûrement pas le cas puis que justement il manque les solutions {2,4} et {4,2} comme tu le dis à la fin. En fait je pense plutôt que l'étude de ln(x)/x = ln(y)/y va donner des solutions qui ne seront entières que pour {2,4} et {4,2}.

[Bisam]

La solution de Marka est PRESQUE bonne.
En fait, il faudrait faire une étude de la fonction f:x->ln(x)/x pour étudier le nombre de solutions de ln(x)/x=Z, en discutant suivant Z.
Pour être plus précis qu'Hayleia, c'est l'injectivité de la fonction f qui fait défaut, ici.

Par ailleurs, en pièce jointe, je vous propose la solution donnée par Laurae, mais en plus propre.