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[Exercices Maths Laurae #3] Suites #1

Des minis exercices de mathématiques régulièrement, de niveau Terminale S/ES.

[Exercices Maths Laurae #3] Suites #1

Unread postby Laurae » 27 Jun 2013, 12:41

Dernière mise à jour : 27/06/2013
Bonne lecture !

Les Exercices de Mathématiques de Laurae suivante (#4) : Prépa #1
Les Exercices de Mathématiques de Laurae précédente (#2) : Complexes #1

Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae



Nous avançons cette fois vers un exercice sur les nombres complexes.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Note : l'indication est destinée aux lycéens en classe de première.

Exercice 3.png



Meilleures solutions :
- Marka : viewtopic.php?f=67&t=12570#p144999
- Hayleia : viewtopic.php?f=67&t=12570#p145000
- nikitouzz : viewtopic.php?f=67&t=12570#p145004
- Bisam : viewtopic.php?f=67&t=12570&p=145171#p145171
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Exercice 3.pdf
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Re: [Exercices Maths Laurae #3] Limites #1

Unread postby Marka » 27 Jun 2013, 12:49

Salup,
Première égalité (je rassemble les membres)
An = 1 +2+3+...+(n-1) + n
An = n + (n-1) + (n-2) +...2+1
On rassemble les membres de la ligne du dessus et de la ligne du dessous et on obtient 2An
Donc 2An = n+1 +n+1 ....+ +n+1+ n+1 et ceci n fois
Soit 2An = n(n+1)
D'Ou An = n(n+1)/2

Bon on pouvait faire par récurrence
(Comme je dois y aller je ferais le reste en EDIT :P )
Marka...for a better world
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Re: [Exercices Maths Laurae #3] Limites #1

Unread postby Hayleia » 27 Jun 2013, 12:53

Vive les récurrences (il y a sûrement mieux, mais comme le disait ma prof de maths de 2e et de 1e, "on ne change pas une méthode qui gagne").

(notez que dans mes hérédités, je suppose la propriété vraie à n-1 et je la montre vraie à n, et je ne la suppose pas vraie à n pour la montrer vraie à n+1)

Récurrence:
Initialisation: 1=1*(1+1)/2
Heredité: 1+...+n=(1+...+(n-1))+n=(n-1)n/2+n=((n-1)n+2n)/2=(n(n+1))/2

Récurrence:
Initialisation: 1²=1(1+1)(2*1+1)/6
Heredité: 1²+...+n²=(1²+...+(n-1)²)+n²=((n-1)n(2(n-1)+1))/6+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Récurrence:
Initialisation: 1^3=1²(1+1)²/4
Heredité: 1^3+...+n^3=(1^3+...+(n-1)^3)+n^3=(n-1)²n²/4+n^3=n²(n+1)²/4
Last edited by Hayleia on 27 Jun 2013, 13:12, edited 1 time in total.

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Re: [Exercices Maths Laurae #3] Limites #1

Unread postby Adriweb » 27 Jun 2013, 12:56

Récurrence directe pour les 2 premières démonstrations.

Pour les cubes, la preuve par récurrence aussi devrait marcher sans trop de soucis, et au final : (n(n+1)/2)²
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Re: [Exercices Maths Laurae #3] Limites #1

Unread postby nikitouzz » 27 Jun 2013, 13:07

I)recurrence :

Inititialisations, pour n=1 on a An=1 puis 1*(1+1)/2=1=An

Heredité, 1+2+3+...+n+(n+1) = (1+2+3+...+n)+(n+1) = n(n+1)/2+2(n+1)/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n+1)((n+1)+1)/2

II) recurrence :

Inititialisations, pour n=1 on a Bn=1 puis 1*(1+1)*(2+1)/6=1=Bn

Heredité, 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2 = (1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(n+1)^2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6 + (n+1)^
(n*(n+1)*(2n+1))/6+(n+1)^2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6+6(n+1)^2/6 = (n*(n+1)*(2n+1)+6(n+1)^2)/6 = ((n+1)*(n+2)*(2(n+1)+1))/6

III) 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=((n+1)((n+1)+1)/2)^2
Mes records personnels :
2x2x2 : 2.18 secondes / 2x2x2 une main : 21.15 secondes / 2x2x2 yeux bandés : 47.59
3x3x3 : 5.97 secondes / 3x3x3 une main : 49.86 secondes
4x4x4 : 1.49 minutes / 4x4x4 une main : 6.50 minutes
5x5x5 : 4.10 minutes / 5x5x5 une main : 18.02 minutes
6x6x6 : 8.10 minutes
7x7x7 : 16.03 minutes
9x9x9 : 58.26 minutes

megaminx : 5.59 minutes / pyraminx : 7.91 secondes / square-one : 1.07 minutes

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Re: [Exercices Maths Laurae #3] Suites #1

Unread postby Bisam » 29 Jun 2013, 20:31

Pour la dernière démonstration, regardez suffisamment longtemps cette image... et comprenez...
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