[Exercices Maths Laurae #6] Limites #3

[Laurae]

Dernière mise à jour : 28/06/2013
Bonne lecture !

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Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae


Nous avançons cette fois vers des les limites.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Exercice 6.png

Meilleures réponses :
- mdr1 : viewtopic.php?f=67&t=12581#p145109
- Bisam : viewtopic.php?f=67&t=12581#p145169

[mdr1]

En 0 : cos(k*x) = 1+o(x²) (quel que soit k>0) donc la somme donne n + o(x²), avec le -n, on a o(x²), divisé par x : o(x) donc la limite vaut 0.

[Bisam]

Bien vu, mdr1.
Pour rester accessible à des Terminales, je propose cette solution :

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Pour tout i, cos(2*i*x)-1 = -2*sin²(i*x).
Donc f(x)-n = -2*sum(sin²(i*x),i=1..n).
Or sin(y)/y tend vers 1 en 0 sonc sin²(y)/y=sin(y)*sin(y)/y tend vers 0.
Donc (f(x)-n)/x = -2*sum(i*(sin²(i*x)/(i*x)),i=1..n) tend vers 0 par opérations sur les limites.

Pour aller plus loin, il est plus intéressant de déterminer la limite de (f(x)-n)/x² en 0...