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Correction exo 3 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Polynésie)

Discussions scientifiques et scolaires

Correction exo 3 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Polynésie)

Unread postby critor » 17 Jun 2017, 10:03

Correction algo exercice n°3 non-spé du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 en Polynésie française :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=1910

Question 1)
:

Chaque année, la surface diminue de 0,4%.
Donc il reste
$mathjax$u_n\left(1-\frac{0,4}{100}\right)=u_n(1-0,004)\\
\phantom{u_n\left(1-\frac{0,4}{100}\right)}=0,996 u_n$mathjax$


Mais chaque année, on reboise également de 7,2 millions d'hectares.
Donc
$mathjax$u_{n+1}=0,996 u_n+7,2$mathjax$


Question 2)
:

L'algorithme utilise 2 variables :
  • N
    qui initialisée à 2015 est donc l'année
  • U
    qui initialisée à
    $mathjax$u_0=4000$mathjax$
    est donc la surface des forêts en hectares

On souhaite que l'algorithme se termine lorsque la surface des forêts couvre moins de 3500 millions d'hectares, c'est-à-dire lorsque
U<3500
.
Il faut donc organiser notre algorithme autour d'une boucle
Tant que
de condition de poursuite contraire :
U≥3500
.
Code: Select all
Variables :
   N est un entier naturel
   U est un nombre réel
Traitement :
   Tant que U≥3500
      ...
   Fin Tant que
Sortie:
   Afficher N


L'algorithme recherche et affiche une année.
Dans la boucle il nous faut donc passer à l'année suivante, en incrémentant la variable
N
.
Code: Select all
Variables :
   N est un entier naturel
   U est un nombre réel
Traitement :
   Tant que U≥3500
      Affecter à N la valeur N+1
      ...
   Fin Tant que
Sortie:
   Afficher N


Et il faut donc également que la valeur de la variable
U
passe à l'année suivante, en respectant la relation de récurrence
$mathjax$u_{n+1}=0,996 u_n+7,2$mathjax$
:
Code: Select all
Variables :
   N est un entier naturel
   U est un nombre réel
Traitement :
   Tant que U≥3500
      Affecter à N la valeur N+1
      Affecter à U la valeur 0,996U+7,2
   Fin Tant que
Sortie:
   Afficher N


Question 3)a)
:

$mathjax$v_n=u_n-1800\Leftrightarrow u_n=v_n+1800$mathjax$


Pour tout entier naturel
n
:
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-1800\\
\phantom{v_{n+1}}=0,996 u_n+7,2-1800\\
\phantom{v_{n+1}}=0,996\left(v_n+1800\right)-1792,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,996 v_n + 0,996\times 1800-1792,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,996 v_n + 1792,8-1792,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,996 v_n$mathjax$


Donc
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométrique de raison
$mathjax$q=0,996$mathjax$
et de premier terme
$mathjax$v_0=u_0-1800\\
\phantom{v_0}=4000-1800\\
\phantom{v_0}=2200$mathjax$
.

Question 3)b)
:

Donc pour tout entier naturel
n
:
$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}2200\times 0,996^n$mathjax$


Donc pour tout entier naturel
n
:
$mathjax$u_n=v_n+1800\\
\phantom{u_n}=2200\times 0,996^n+1800$mathjax$


Question 3)c)
:

$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} 0,996^n=0$mathjax$
car
$mathjax$0,996<1$mathjax$
.
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} u_n=2200\times 0+1800\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=0+1800\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=1800$mathjax$


A long terme selon ce modèle, la forêt ne va pas disparaître, mais stabiliser son recul autour de 1800 millions d'hectares.

Question 4)
:

Soit la suite
$mathjax$\left(w_n\right)$mathjax$
$mathjax$w_n$mathjax$
est donc le nombre d'arbres plantés l'année de rang
n
, le rang étant à compter de 2016.
Donc
$mathjax$w_0=7,3$mathjax$
.
Et donc pour tout entier naturel
n
:
$mathjax$w_{n+1}=w_n\left(1+\frac{10}{100}\right)\\
\phantom{w_{n+1}}=w_n(1+0,1)\\
\phantom{w_{n+1}}=1,1 w_n$mathjax$


Il s'agit d'une suite géométrique de raison
$mathjax$q'=1,1$mathjax$
.

En 2025, nous serons donc l'année de rang
$mathjax$2025-2016=9$mathjax$
.
$mathjax$\sum\limits_{n=0}^{9}w_n=w_0\frac{1-q'^{9+1}}{1-q'}\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}=7,3\frac{1-1,1^{10}}{1-1,1}\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}=7,3\frac{1-1,1^{10}}{-0,1}\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}=-7,3\frac{1-1,1^{10}}{0,1}\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}=-7,3\left(1-1,1^{10}\right)\times 10\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}=-73\left(1-1,1^{10}\right)\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}=-73\left(1-1,1^{10}\right)\\
\phantom{\sum\limits_{n=0}^{9}w_n}\approx 116,3$mathjax$


Or,
$mathjax$116,3<140$mathjax$
.

Selon ce programme, 10 ans ne suffiront donc pas pour planter 140 milliards d'arbres.
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