Correction exo 4 BAC S 2016 (Nouvelle Calédonie mars 2017)

[critor]

Correction de l'exo 4 (recherche / prise d'initiative) du sujet de Maths du BAC S 2016 tombe en Nouvelle Calédonie en mars 2017 : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2223



D'après le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

vérifie

$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=\frac{n}{n+1}$mathjax$

.

Démontrons cette propriété par récurrence :

• Initialisation :
  Pour
  $mathjax$n=0$mathjax$
  ,
  $mathjax$\frac{0}{0+1}=\frac{0}{1}=u_0$mathjax$
  .
  Dans la propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité :
  Supposons que la propriété soit vérifiée à un certain rang
  $mathjax$n$mathjax$
  , c'est-à-dire que l'on ait
  $mathjax$u_n=\frac{n}{n+1}$mathjax$
  .
  Démontrons alors que la propriété est vraie au rang
  $mathjax$n+1$mathjax$
  , c'est-à-dire que l'on a
  $mathjax$u_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$mathjax$
  .
  
  $mathjax$u_{n+1}=\frac{1}{2-u_n}\\
  \phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{2-\frac{n}{n+1}}\\
  \phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{2\left(n+1\right)}{n+1}-\frac{n}{n+1}}\\
  \phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{2n+2}{n+1}-\frac{n}{n+1}}\\
  \phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{2n+2-n}{n+1}}\\
  \phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{n+2}{n+1}}\\
  \phantom{u_{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}$mathjax$
• Conclusion :
  Donc
  $mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=\frac{n}{n+1}$mathjax$
  .

Donc

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n+1}\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$mathjax$

Or,

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}=0$mathjax$

.
D'où

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=1$mathjax$

La suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

converge bien vers 1.