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Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Discussions scientifiques et scolaires

Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby critor » 22 Jun 2015, 11:15

Correction de l'exercice 4
(fonctions + algorithme)
du sujet de BAC S de France juin 2015.


Partie 1 - Question 1)
:

$mathjax$\displaystyle{f'(x)=(x+1)^\prime \ln(x+1)+(x+1)\left(\ln(x+1)\right)^\prime-3\\\phantom{f'(x)}=1\cdot \ln(x+1)+(x+1)\times \dfrac{1}{x+1}-3\\
\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)+\dfrac{x+1}{x+1}-3\\
\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)+1-3\\
\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)-2}$mathjax$



Partie 1 - Question 2)
:

$mathjax$\displaystyle{f'(x)≥0\Leftrightarrow \ln(x+1)-2≥0\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow \ln(x+1)≥2\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\ln(x+1)}≥\mathrm{e}^2 (*)\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow x+1≥\mathrm{e}^2\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow x≥\mathrm{e}^2-1}$mathjax$

Or,
$mathjax$\displaystyle{\mathrm{e}^2-1\approx 6,4}$mathjax$
.
(*) car la fonction exponentielle est croissante


De plus,
$mathjax$\displaystyle{f(0)=(0+1)\ln(0+1)-3\times 0+7\\
\phantom{f(0)}=1 \ln(1)-0+7\\
\phantom{f(0)}=0+7\\
\phantom{f(0)}=7}$mathjax$
et
$mathjax$\displaystyle{f(20)=(20+1)\ln(20+1)-3\times 20+7\\
\phantom{f(20)}=21 \ln(21)-60+7\\
\phantom{f(20)}=21 \ln(21)-53}$mathjax$
et
$mathjax$\displaystyle{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)=(\mathrm{e}^2-1+1)\ln(\mathrm{e}^2-1+1)-3\left(\mathrm{e}^2-1\right)+7\\
\phantom{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)}=\mathrm{e}^2\ln(\mathrm{e}^2)-3\mathrm{e}^2+3+7\\
\phantom{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)}=\mathrm{e}^2\times 2-3\mathrm{e}^2+10\\
\phantom{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)}=-\mathrm{e}^2+10}$mathjax$

Donc : Image


Partie 1 - Question 3)
:

$mathjax$\displaystyle{f'(0)=\ln(0+1)-2\\
\phantom{f'(0)}=\ln(1)-2\\
\phantom{f'(0)}=0-2\\
\phantom{f'(0)}=-2}$mathjax$

L'inclinaison au point B est donc de 2.


Partie 1 - Question 4)
:

On remarque que
$mathjax$\displaystyle{f(x)=g'(x)-3x+7}$mathjax$

Une primitive de f est donc donnée par
$mathjax$\displaystyle{F(x)=g(x)-\dfrac{3}{2}x^2+7x\\
\phantom{F(x)}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}x^2+7x\\
\phantom{F(x)}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{6}{4}x^2+\dfrac{14}{2}x\\
\phantom{F(x)}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{7}{4}x^2+\dfrac{13}{2}x}$mathjax$



Partie 2 - Question 1)
:

La hauteur du point le plus bas est
$mathjax$\displaystyle{f(\mathrm{e}^2-1)=-\mathrm{e}^2+10\\
\phantom{f(\mathrm{e}^2-1)}=10-\mathrm{e}^2\\
\phantom{f(\mathrm{e}^2-1)}\approx 2,6}$mathjax$
.

D'autre part,
$mathjax$\displaystyle{f(0)=7}$mathjax$
et
$mathjax$\displaystyle{f(20)=21 \ln(21)-53\\
\phantom{f(\mathrm{e}^2-1)}\approx 10,9}$mathjax$
.
La hauteur du point le plus haut est donc
$mathjax$\displaystyle{f(20)\approx 10,9}$mathjax$
.

Par conséquent
$mathjax$\displaystyle{f(20)-f(0)\approx 8,3}$mathjax$
.

Donc P1 est vraie : la différence est f(20)-f(0) est au moins égale à 8 mètres.

$mathjax$\displaystyle{f'(20)=\ln(20+1)-2\\
\phantom{f'(20)}=\ln(21)-2\\
\phantom{f'(20)}\approx 1,04}$mathjax$

Donc P2 est vraie : l'inclinaison de 2 de la piste en B est presque deux fois plus grande qu'en C.



Partie 2 - Question 2)
:

Calculons l'aire des quatre faces latérales :
$mathjax$\displaystyle{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}=\int_0^{20} f(x) \, \mathrm{d}x\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\left[F(x)\right]_0^{20}\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\left[\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{7}{4}x^2+\dfrac{13}{2}x\right]_0^{20}\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}(20+1)^2\ln(20+1)-\dfrac{7}{4}20^2+\dfrac{13}{2}20-\left(\dfrac{1}{2}(0+1)^2\ln(0+1)-\dfrac{7}{4}0^2+\dfrac{13}{2}0\right)\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}21^2\ln(21)-\dfrac{7}{4}400+13\times 10-\left(\dfrac{1}{2}1^2\ln(1)-\dfrac{7}{4}0+0\right)\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}441\ln(21)-7\times 100+130-\left(\dfrac{1}{2}1\times 0-0\right)\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}441\ln(21)-700+130-0\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}441\ln(21)-570}$mathjax$


OAB'B étant un rectangle,
$mathjax$\displaystyle{A_{OAB'B}=OA\times OB\\
\phantom{A_{OAB'B}}=10\times f(0)\\
\phantom{A_{OAB'B}}=10\times 7\\
\phantom{A_{OAB'B}}=70}$mathjax$


OD'C'C étant un rectangle,
$mathjax$\displaystyle{A_{OD'C'C}=DD'\times DC\\
\phantom{A_{OD'C'C}}=10\times f(20)\\
\phantom{A_{OD'C'C}}=10\left(21\times \ln(21)-53\right)\\
\phantom{A_{OD'C'C}}=210\times \ln(21)-530}$mathjax$


Donc, l'aire totale est
$mathjax$\displaystyle{A=A_{ODCB}+A_{AD'C'B'}+A_{OAB'B}+A_{OD'C'C}\\
\phantom{A}=2A_{ODCB}+A_{OAB'B}+A_{OD'C'C}\\
\phantom{A}=2\left(\dfrac{1}{2}441\ln(21)-570\right)+70+210\times \ln(21)-530\\
\phantom{A}=441\ln(21)-1140-460+210\times \ln(21)\\
\phantom{A}=651\ln(21)-1600}$mathjax$


Comme
$mathjax$\displaystyle{\dfrac{A}{5}=\dfrac{651\ln(21)-1600}{5}\\
\phantom{\dfrac{A}{5}}\approx 76,4}$mathjax$
, il faut donc 77 litres de peinture.



Partie 2 - Question 3)a)
:

Dans le repère (O;I,J),
$mathjax$\displaystyle{B_k\left(k,f(k)\right)}$mathjax$
et
$mathjax$\displaystyle{B_{k+1}\left(k+1,f(k+1)\right)}$mathjax$


(O;I,J) étant orthonormal,
$mathjax$\displaystyle{B_{k}B_{k+1}=\sqrt{\left(x_{B_{k+1}}-x_{B_k}\right)^2+\left(y_{B_{k+1}}-y_{B_k}\right)^2}\\
\phantom{B_{k}B_{k+1}}=\sqrt{(k+1-k)^2+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}\\
\phantom{B_{k}B_{k+1}}=\sqrt{1^2+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}\\
\phantom{B_{k}B_{k+1}}=\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}}$mathjax$




Partie 2 - Question 3)b)
:

Il s'agit ici d'additionner les aires de tous les rectangles BkBk+1B'k+1B'k.

Les rectangles extrêmes sont B0B1B'1B'0 pour k=0 et B19B20B'20B'19 pour k=19.
Cela implique de faire varier
K
de 0 à 19 :
Code: Select all
Pour K variant de 0 à 19

Remarque :
On pouvait noter que cette réponse figurait déjà dans l'énoncé de la question 3)a).


Pour l'addition on utilise donc la variable
S
, somme initialisée à 0. On y rajoute quelque chose de la façon suivante :
Code: Select all
S prend la valeur S+...

La valeur à rajouter est l'aire du rectangle BkBk+1B'k+1B'k, c'est-à-dire d'après la question 3)a)
$mathjax$\displaystyle{A_{B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k}=B_kB_{k+1}\times B_kB'_k\\
\phantom{A_{B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k}}=\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}\times 10\\
\phantom{A_{B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k}}=10\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}}$mathjax$

Code: Select all
S prend la valeur S+10√(1+(f(k+1)-f(k))²)


D'où l'algorithme ainsi complété :
Code: Select all
Variables :
   S: réel
   K: entier
Fonction :
   f: définie par f(x)=(x+1)\ln(x+1)-3x+7
Trairement :
   S prend pour valeur 0
   Pour K variant de 0 à 19
      S prend la valeur S+10√(1+(f(k+1)-f(k))²)
   FinPour
   Afficher S
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby pierrotdu18 » 22 Jun 2015, 11:32

Heu... √(1+(f(k+1)-f(k))²) c'est la distance entre Bk et Bk+1, c'est pas l'air du rectangle, il fallait multiplier par 10 qui est la largeur du module non ?
Bonjour
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby Wistaro » 22 Jun 2015, 11:34

*10 non? Ou alors j'ai rien compris
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby critor » 22 Jun 2015, 11:46

C'est pas un corrigé officiel, j'ai eu moins de temps que vous pour le faire
(les sujets ne circulent pas avant 1h15)
- je vais relire et me corriger pour vous rassurer. :)
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby critor » 22 Jun 2015, 11:52

Voilà, rajouté le facteur 10 manquant à la dernière question - fallait pas paniquer pour si peu.

Sinon c'est super de votre part d'être arrivés jusqu'à la fin de cet exo ;)
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby pierrotdu18 » 22 Jun 2015, 12:06

Ok super merci ;)
Ah ah pas compliqué d'arriver jusqu'à la fin de celui-ci j'ai trouvé...
La géo dans l'espace m'a un peu perturbé par contre... je ne sais pas si c'est moi qui me trompe ou s'il y a une petite coquille dans le sujet mais quelque chose m'a perturbé !
Et aussi, l'exo de spé, j'avais pas vu qu'on savait où on était pour X0... Du coup j'ai fait le cas général avec X0 = {3/25, 4/25, 18/25} :'(
Bonjour
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby Wistaro » 22 Jun 2015, 12:12

Partie 2 - Question 1) :

Je me suis trompé j'ai pas pris le sommet de la parabole, j'ai pris sa valeur en 0. Du coup j'ai mis faux. Je suis dégoûté, je suis allé trop vite.

Du coup, vous pensez que cette erreur va me coûter combien de points ?
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Re: Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

Unread postby pierrotdu18 » 22 Jun 2015, 12:43

(j'ai un peu revigorifié le LaTeX :p)
Bonjour
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