Correction exo 3 (algo) Maths BAC STL(Bio) 2015 (France)

[critor]

Correction de l'exercice 3A (suites + algorithme) du sujet de BAC STL(Biotechnologies) de France juin 2015.

Question A)1)a) :
Rajoutons une ligne d'affichage des variables n et h dans la boucle de l'algorithme, et par programmation sur la calculatrice nous allons obtenir directement le tableau de valeurs à recopier :

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    n entier naturel    h réel Initialisation :    Affecter à n la valeur 0    Affecter à h la valeur 60 Traitement :    Tant que h<170    |   n prend la valeur n+1    |   h prend la valeur 1,12×h    |   Afficher n et h    Fin Tant que Sortie :    Afficher n

TI- 82/83/84 (français) TI- 82/83/84 (anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all 0→N 60→H While H<170    N+1→N    1,12H→H    Pause arrondir({N,H},1) End N Code: Select all 0→N 60→H While H<170    N+1→N    1,12H→H    Pause round({N,H},1) End N Code: Select all Define fr2015stlb()= Func    Local n,h    0→n    60→h    While h<170       n+1→n       1.12h→h       Disp n,h    EndWhile    Return n EndFunc Code: Select all 0→N 60→H While H<170    N+1→N    1.12H→H    {N,H}◢ WhileEnd N Code: Select all 0⇒n 60⇒h While h<170    n+1⇒n    1.12H⇒h    Print {n,h} WhileEnd Print n Code: Select all EXPORT fr2015stlb() BEGIN    N:=0;    H:=60;    WHILE H<170 DO       N:=N+1;       H:=1.12*H;       PRINT({N,H});    END;    PRINT(N); END;

D'où la réponse :

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
h	60	67,2	75,3	84,3	94,4	105,7	118,4	132,6	148,6	166,4	186,4

Question A)1)b) :
L'algorithme se terminant sur l'affichage de la valeur de n, le résultat sera donc 10, ce que l'on confirme à la calculatrice.
Il s'article de plus autour d'une simple boucle 'Tant que', de condition de poursuite h<170.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition d'arrêt contraire : h≥170.
La variable N étant initialisée à 0 et incrémentée de 1 à chaque itération, elle joue le rôle d'un compteur.
10 est donc au final le nombre d'années nécessaires pour que la hauteur de la haie dépasse 170cm.

Question A)2)a) :
h₀ est la hauteur de la haie l'année 2014+0=2014. Donc h₀=60.

$mathjax$h_1=\left(1+\frac{12}{100}\right)h_0\\
\phantom{h_1}=\left(1+0,12\right)\times 60\\
\phantom{h_1}=1,12\times 60\\
\phantom{h_1}=67,2$mathjax$

Question A)2)b) :
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$h_{n+1}=1,12 h_n$mathjax$

.
(h_n) est donc une suite géométrique de raison q=1,12 et de premier terme h₀.
Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$h_n=h_0\times q^n\\
\phantom{h_n}=60\times (1,12)^n$mathjax$

Question A)2)c) :

$mathjax$h_n≥170\\
60\times (1,12)^n≥170\\
(1,12)^n≥\frac{170}{60}\\
(1,12)^n≥\frac{17}{6}\\
\ln\left((1,12)^n\right)≥\ln\left(\frac{17}{6}\right)\\
n\times \ln\left(1,12\right)≥\ln\left(\frac{17}{6}\right)\\
n≥\frac{\ln\left(\frac{17}{6}\right)}{\ln\left(1,12\right)} \text{ car } \ln(1,12)>0$mathjax$

Or,

$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{17}{6}\right)}{\ln\left(1,12\right)}\approx 9,2$mathjax$

.
Donc n≥10.
C'est à partir de l'année 2010+10=2020.