Correction exo 3 Maths BAC S 2014 Centres Etrangers

[critor]

Question A-1-a

• $mathjax$f_1(0)=4\times 0^3-6\times 0^2+3\times 0=4\times 0-6\times 0+0=0+0=0$mathjax$
• $mathjax$f_1(1)=4\times 1^3-6\times 1^2+3\times 1=4\times 1-6\times 1+3=4-6+3=1$mathjax$
• f est une fonction polynomiale de degré 3 et donc continue sur [0;1].
• f est une fonction polynomiale de degré 3 et donc dérivable sur [0;1].
  
  $mathjax$f'_1(x)=4\times 3 x^2-6\times 2x+3=12x^2-12x+3=3(4x^2-4x+1)=3\left((2x)^2-2\times 2x+1\right)=3(2x-1)^2$mathjax$
  
  donc
  $mathjax$\forall x\in [0;1], f'_1(x)\geq0$mathjax$
  et donc f₁ est croissante sur [0;1].

Donc f₁ est une fonction de retouche.

Question A-1-b

Graphiquement,

$mathjax$f_1(x)\leqx$mathjax$

pour

$mathjax$x\in [0,5;1]$mathjax$

.

• Pour
  $mathjax$x\in [0,5;1]$mathjax$
  , il s'agit d'un éclaircissement.
• Et pour
  $mathjax$x\in [0;0,5]$mathjax$
  , il s'agit donc d'un assombrissement.

Question A-2-a

$mathjax$f'_2(x)=\frac{\left(1+(e-1)x\right)'}{1+(e-1)x}=\frac{e-1}{1+(e-1)x}$mathjax$

$mathjax$g'(x)=f'_2(x)-1=\frac{e-1}{1+(e-1)x}-1=\frac{e-1}{1+(e-1)x}-\frac{1+(e-1)x}{1+(e-1)x}=\frac{e-1-\left(1+(e-1)x\right)}{1+(e-1)x}=\frac{e-1-1-(e-1)x}{1+(e-1)x}=\frac{(e-2)-(e-1)x}{1+(e-1)x}$mathjax$

Question A-2-b

$mathjax$(e-2)-(e-1)x\geq0 \Leftrightarrow e-2\geq(e-1)x \Leftrightarrow (e-1)x\leqe-2 \Leftrightarrow x\leq\frac{e-2}{e-1}$mathjax$

car

$mathjax$e-1>0$mathjax$

et

$mathjax$\frac{e-2}{e-1}\approx 0,4$mathjax$

donc

$mathjax$0<\frac{e-2}{e-1}<1$mathjax$

$mathjax$1+(e-1)x\geq0 \Leftrightarrow (e-1)x\geq-1 \Leftrightarrow x\geq-\frac{1}{e-1}$mathjax$

car

$mathjax$e-1>0$mathjax$

et

$mathjax$-\frac{1}{e-1}<0$mathjax$

g admet donc un maximum en

$mathjax$\frac{e-2}{e-1}$mathjax$

valant environ 0,12 d'après la calculatrice.

Question A-2-c
g est continue comme différence et composée de fonctions continues et strictement croissante sur

$mathjax$I_1=\left[0;\frac{e-2}{e-1}\right]$mathjax$

et réalise donc une bijection vers

$mathjax$g(I_1)=\left[g(0);g\left(\frac{e-2}{e-1}\right)\right]=\left[0;g\left(\frac{e-2}{e-1}\right)\right]$mathjax$

.
Or,

$mathjax$0,05\in g(I_1)$mathjax$

Donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel

$mathjax$\alpha \in I_1$mathjax$

tel que

$mathjax$g(\alpha)=0,05$mathjax$

.

De même, g est continue comme différence et composée de fonctions continues et strictement décroissante sur

$mathjax$I_2=\left[\frac{e-2}{e-1};1\right]$mathjax$

et réalise donc une bijection vers

$mathjax$g(I_2)=\left[g(1);g\left(\frac{e-2}{e-1}\right)\right]=\left[0;g\left(\frac{e-2}{e-1}\right)\right]$mathjax$

.
Or,

$mathjax$0,05\in g(I_2)$mathjax$

Donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel

$mathjax$\beta \in I_1$mathjax$

tel que

$mathjax$g(\beta)=0,05$mathjax$

.

Donc

$mathjax$g(x)=0,05$mathjax$

admet deux solutions

$mathjax$\alpha$mathjax$

et

$mathjax$\beta$mathjax$

sur

$mathjax$[0;1]$mathjax$

.

Question B-1
L'algorithme s'articule autour d'une boucle pour faisant varier l'entier k de 0 à 100, et donc le réel x de 0 à 1 par pas de 0,01 (0 0,01 0,02 ... 0,99 1).
Le variable c étant incrémentée de 1 sous un certaine condition, il s'agit donc d'un compteur.
L'algorithme compte donc le nombre de valeurs de x testées vérifiant

$mathjax$\mid {f(x)-x}\mid\geq0,05$mathjax$

, condition de perception de la retouche de pixels.
L'algorithme compte donc le nombre de pixels dont la retouche sera perceptible pour l'observateur.

Question B-2
Si l'on a répondu aux questions précédentes et qu'on en voit le lien, la réponse n'est pas bien difficile.
A défaut, on peut tenter une programmation sur calculatrice graphique, mais précisons que ce sera assez ardu ici.
L'algorithme compte donc le nombre de valeurs de x testées vérifiant

$mathjax$| {f_2(x)-x}|\geq0,05$mathjax$

, c'est-à-dire

$mathjax$| {g(x)}|\geq0,05$mathjax$

.
D'après A-2-b et A-2-c, c'est le cas pour

$mathjax$\alpha\leq x\leq\beta$mathjax$

.
Or,

$mathjax$0,08<\alpha<0,09$mathjax$

et

$mathjax$0,85<\beta<0,86$mathjax$

.
Les valeurs de x testées incrémentant le compteur seront donc 0,09 0,10 0,11 ... 0,84 0,85.
Elles sont au nombre de

$mathjax$100(0,85-0,09)+1=77$mathjax$

qui sera notre réponse.

[Robolo]

Bonjour,
Est-il correct de dire que l'algorithme affiche l'amplitude de l'intervalle [α;β] avec un pas de 0,01 pour la question 2 partie B de cet exercice ?

[critor]

Je ne trouve pas la formulation correcte.

Mais tu sais, pour un demi-point, nombre de choses passent à la correction, surtout à côté des nombreuses non-réponses ou réponses fausses.

[Robolo]

Oui mais ce n'est pas ce qui m'importe.
Comme on ne connaît pas les valeurs exactes de aplha et beta et que l'on a qu'un simple encadrement j'ai trouvé ça plus rigoureux de dire que la valeur affichée correspondait à l'amplitude de l'intervalle [alpha;beta] puisque c'est ce que calcule l'algorithme dans le cas de f2(x) en gros, et c'est d'ailleurs ce que vous avez fait dans la correction. Peut-être que c'est le "pas de 0,01" qui vous dérange dans la formulation ? De toutes manières le résultat sera toujours arrondi au centième (c'est ce que je voulais dire par "pas de 0,01").

[critor]

Les termes 'amplitude' et "pas de 0,01" me semblent contradictoires, oui.

J'associe 'amplitude' à une mesure de distance, de taille, relevant donc d'une grandeur continue.
Ici, il s'agit de compter et donc d'une grandeur discrète.

[Robolo]

D'accord, et si on répond seulement : L'algorithme affiche l'amplitude de l'intervalle [alpha;beta] arrondi au centième ça convient ?

Ok merci pour la précision. J'imagine que la notion d'amplitude évolue dans les années à venir !

[critor]

D'accord, et si on répond seulement : L'algorithme affiche l'amplitude de l'intervalle [alpha;beta] arrondi au centième ça convient ?

Le résultat étant 77, cela ne peut convenir.

[Robolo]

Alpha est compris entre 0,08 et 0,09, de même pour Beta qui est compris entre 0,85 et 0,86, si on prend alpha = 0,09 et beta = 0,85, il est possible que la valeur réelle soit supérieure à 0,77 puisque alpha et beta peuvent être respectivement inférieur à 0,09 et supérieur à 0,85, non ?

Je pense avoir compris : comme le pas est de 0,01 les valeurs de alpha et beta seront de toutes manière arrondies au centième et comme les 2 valeurs dont on est sûrs qu'elles appartiennent à [alpha,beta] sont 0,09 et 0,85, ce sont celles que l'on choisit pour en faire la différence... c'est bien ça ?

[Bisam]

Une formulation qui est très proche de l'algorithme pourrait être : "Le nombre d'entiers k tels que x=k/100 est compris entre alpha et beta", tout simplement, non ?

Quant à la question de Robolo... c'est tout bonnement incompréhensible. Entre 0,08 et 0,86, les deux bornes étant exclues, il y a très exactement 77 valeurs de k telles que k/100 soit entre ces 2 bornes, la plus petite étant k=9 et la plus grande k=85.
Comme alpha est strictement plus petit que 0,9 et beta strictement plus grand que 0,85, il faut bien compter toutes ces valeurs.

[critor]

Sans autre hypothèse, l'amplitude de l'intervalle [alpha;bêta] est strictement comprise entre 0,76 et 0,78 oui.