Correction exo 2 BAC S 2017 (Inde - avril 2017)

[critor]

Correction de l'exo 2 du sujet de Maths du BAC S 2017 tombé en Inde en avril 2017 : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2251



Question 1)a) :
L'équation (E) est de la forme

$mathjax$a z^2 + b z + c = 0$mathjax$

avec par identification

$mathjax$a = 1$mathjax$

et

$mathjax$b = -6$mathjax$

et c réel.

$mathjax$\Delta=b^2 - 4 a c\\
\phantom{\Delta}=(-6)^2 - 4 \times 1 \times c\\
\phantom{\Delta}=36 - 4 c$mathjax$

Or,

$mathjax$c > 9\Leftrightarrow 4 c > 4 \times 9 \\
\phantom{c > 9}\Leftrightarrow 4 c > 36\\
\phantom{c > 9}\Leftrightarrow -4 c < -36\\
\phantom{c > 9}\Leftrightarrow 36 - 4 c < 36 - 36\\
\phantom{c > 9}\Leftrightarrow \Delta < 0$mathjax$

Donc l'équation (E) admet 2 solutions complexes conjuguées.



Question 1)b) :
Les 2 solutions sont :

$mathjax$z_A=\frac{-b + i \sqrt{-\Delta}}{2 a}\\
\phantom{z_A}=\frac{-(-6) + i \sqrt{-(36 - 4 c)}}{2 \times 1}\\
\phantom{z_A}=\frac{6 + i \sqrt{-36 + 4 c}}{2 \times 1}\\
\phantom{z_A}=\frac{6 + i \sqrt{4c -36}}{2 \times 1}\\
\phantom{z_A}=\frac{6 + i \sqrt{4 \left(c - 9\right)}}{2}\\
\phantom{z_A}=\frac{6 + i \sqrt{4} \sqrt{c - 9}}{2}\\
\phantom{z_A}=\frac{6 + 2 i \sqrt{c - 9}}{2}\\
\phantom{z_A}=\frac{6}{2} + \frac{2 i \sqrt{c - 9}}{2}\\
\phantom{z_A}=3 + i \sqrt{c - 9}$mathjax$

$mathjax$z_B=\bar{z_A}\\
\phantom{z_B}=\overline{3 + i \sqrt{c - 9}}\\
\phantom{z_B}=3 - i \sqrt{c - 9}$mathjax$

Question 2) :

$mathjax$OB=\left\|\overrightarrow{OB}\right\|\\
\phantom{OB}=\left|z_B - z_O\right|\\
\phantom{OB}=\left|z_B - 0\right|\\
\phantom{OB}=\left|z_B\right|\\
\phantom{OB}=\left|\overline{z_A}\right|\\
\phantom{OB}=\left|z_A\right|\\
\phantom{OB}=\left|z_A - 0\right|\\
\phantom{OB}=\left|z_A - z_O\right|\\
\phantom{OB}=\left\|\overrightarrow{OA}\right\|\\
\phantom{OB}=OA$mathjax$

Donc OA=OB et le triangle ABC est isocèle en O.



Question 3) :
Le triangle ABC isocèle en O ne peut donc être rectangle qu'en O.
D'après le théorème de Pythagore, on aurait

$mathjax$AB^2 = OA^2 + OB^2$mathjax$

.

$mathjax$OA^2 + OB^2= OA^2 + OA^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 OA^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \left\|\overrightarrow{OA}\right\|^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \left|z_A - z_O\right|^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \left|z_A\right|^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \left|3 + i \sqrt{c - 9}\right|^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \sqrt{3^2 + \sqrt{c - 9}^2}^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \sqrt{9 + c - 9}^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 \sqrt{c}^2\\
\phantom{OA^2 + OB^2}=2 c$mathjax$

$mathjax$AB^2=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2\\
\phantom{AB^2}=\left|z_B - z_A\right|^2\\
\phantom{AB^2}=\left|3 - i \sqrt{c - 9} - \left(3 + i \sqrt{c - 9}\right)\right|^2\\
\phantom{AB^2}=\left|3 - i \sqrt{c - 9} - 3 - i \sqrt{c - 9}\right|^2\\
\phantom{AB^2}=\left|- 2 i \sqrt{c - 9}\right|^2\\
\phantom{AB^2}=\left(2 \sqrt{c - 9}\right)^2\\
\phantom{AB^2}=2^2 \sqrt{c - 9}^2\\
\phantom{AB^2}=4 (c - 9)\\
\phantom{AB^2}=4 c - 4 \times 9\\
\phantom{AB^2}=4 c - 36$mathjax$

$mathjax$AB^2 = OA^2 + OB^2\Leftrightarrow 4 c - 36 = 2 c\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow 4 c - 36 - 2 c = 2 c - 2 c\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow 2 c - 36 = 0\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow 2 c - 36 + 36 = 0 + 36\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow 2 c = 36\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow \frac{2 c}{2} = \frac{36}{2}\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow c = \frac{2 \times 18}{2}\\
\phantom{AB^2 = OA^2 + OB^2}\Leftrightarrow c = 18$mathjax$