Je suppose que l'on admet les propriétés suivantes :
1) Ton connexe C est borné (sinon, c'est très vite pénible !)
2) Toute intersection de ton connexe C et d'un demi-plan est mesurable (je ne suis pas sûr que ce soit toujours vrai)
3) L'application f de l'ensemble des droites orientées du plan vers R qui à toute droite associe la différence des aires de l'intersection de ton connexe C avec chacun des demi-plans situés à droite et à gauche de la droite est une fonction continue (dans l'hypothèse où 2) est vrai, je pense que c'est vrai... mais je préfère l'admettre)
Ceci étant fixé, on choisit une direction au hasard et on considère toutes les droites ayant cette direction. On choisit alors un repère ayant comme premier axe cette direction et on associe à chaque réel a de l'autre axe la valeur g(a) de f(D_a) où D_a est la droite ayant pour équation y=a dans ce repère. Ainsi g est une fonction continue de R dans R.
Puisque C est borné, il existe un a1 tel que C est entièrement au-dessus de la droite D_a1 et de même il existe un a2 tel qu'il est entièrement en-dessous de D_a2.
Par conséquent, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à g, g s'annule quelque part en un point a0 (compris entre a1 et a2) et on a donc coupé en 2 parts égales.
En fait, on a même montré que pour toute direction choisie, il existe au moins un point tel que la droite passant par ce point et ayant cette direction coupe ton ensemble en 2 parties égales.
En prenant une deuxième direction perpendiculaire, on peut même trouver un point par lequel passent 2 droites perpendiculaires coupant en 4 morceaux numérotés de 1 à 4 dans le sens horaire et tels que l'aire des morceaux 1+2 soit égale à celle de 3+4 et celle de 1+4 soit égale à celle de 2+3. Ainsi les aires 1 et 3 sont égales et les 2 et 4 le sont aussi.
On fixe alors un repère quelconque et on considère pour tout angle t la différence h(t) entre les aires 1 et 2 (en déplaçant à chaque fois le point d'intersection pour que les aires 1 et 3 d'une part et 2 et 4 d'autre part restent égales).
Les valeurs h(0) et h(pi) sont alors opposées donc, puisque h est également continue, il existe un angle t0 pour lequel h(t0)=0 et du coup, c'est gagné, on a coupé en 4 parts égales en 2 coups de couteau... et en plus, on l'a fait avec des coups de couteau orthogonaux !
C'est en fait une application du célèbre "
théorème du sandwich au jambon" (non, non, ce n'est même pas une blague !)...
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