Faulhaber, le retour

→ **MyCalcs** profile · de **pierrotdu18** » 05 Fév 2014, 22:04

Bonjour,

Je suis coincé et j'aurais besoin de votre aide pour prouver que déterminer le polynôme Sp(n) (de degré p+1) tel que :
$\left\{\begin{array}{l} S_p(n+1)-S_p(n)=(n+1)^p\\ S_p(0)=0 \end{array}\right.$
Revient à trouver une expression développée de
$\sum_{k=0}^{n}{k^p}$

Merci de votre éventuelle aide!!

→ **MyCalcs** profile · de **Hayleia** » 05 Fév 2014, 22:40

Ça sent le télescopage à mon avis.
Je note Eⁿ_k=0[k^p] la somme que tu as écrite en bas de ton post, et toutes les autres sommes de la même manière.

Soit n.
On a Eⁿ_k=0[Sp(k+1)-Sp(n)]=Eⁿ_k=0[(k+1)^p].
Mais aussi Eⁿ_k=0[Sp(k+1)-Sp(k)]=Sp(n+1)-Sp(0)=Sp(n+1).
Donc Sp(n+1)=Eⁿ_k=0[(k+1)^p].

Explication de la deuxième ligne :
Eⁿ_k=0[Sp(k+1)-Sp(n)]=(Sp(n+1)-Sp(n))+(Sp(n)-Sp(n-1))+...+(Sp(2)-Sp(1))+(Sp(1)-Sp(0))
Eⁿ_k=0[Sp(k+1)-Sp(n)]=Sp(n+1)+(-Sp(n)+Sp(n))+(-Sp(n-1)+...+Sp(2))+(-Sp(1)+Sp(1))-Sp(0)
Bref, tout se simplifie deux à deux sauf les termes extrêmes.

→ **MyCalcs** profile · de **pierrotdu18** » 05 Fév 2014, 23:05

Wahou...
Merci de ta réponse, pour commencer. .
Par contre, je suis un peu pommé.....

Déjà, je ne comprends comment tu mets les éléments du système avec un sigma... :-\

→ **MyCalcs** profile · de **Bisam** » 05 Fév 2014, 23:41

Tu as une relation qui doit être vraie pour toute valeur de n, à savoir : Sp(n+1)-Sp(n)=(n+1)^p

Si on fait la somme de toutes les relations obtenues pour n variant de 0 à N-1, dans le membre de gauche tous les termes se simplifient et ils ne reste que Sp(N)-Sp(0)=Sp(N).
Dans le membre de droite, il vient sum((n+1)^p,n=0..N-1) ou encore en décalant les indices sum(n^p,n=1..N).

C'est ce que Hayleia a calculé... mais des mots aident souvent à la compréhension.

→ **MyCalcs** profile · de **pierrotdu18** » 06 Fév 2014, 18:51

Ah ok merci

Et sinon de mon côté j'avais fait ça :
On a bien Sp(n+1)-Sp(n)=n+1 car sum(k=0,n+1,k^p)-sum(k=0,n,k^p)=(n+1)^p

Ca suffit?

→ **MyCalcs** profile · de **Hayleia** » 06 Fév 2014, 19:25

D'après ce que j'ai compris, tu es en train de dire "on a c-b=3, or 7-4=3 donc c=7 et d=4".
D'après toi, ça suffit ?

(D'autant plus qu'en général, on ne donne pas une donnée pour rien dans un exercice et tu ne te sers jamais de la deuxième).

→ **MyCalcs** profile · de **pierrotdu18** » 06 Fév 2014, 19:42

Hayleia a écrit:D'après ce que j'ai compris, tu es en train de dire "on a c-b=3, or 7-4=3 donc c=7 et d=4".
D'après toi, ça suffit ?

(D'autant plus qu'en général, on ne donne pas une donnée pour rien dans un exercice et tu ne te sers jamais de la deuxième).

En fait je me suis gouré, je voulais dire :

On a bien Sp(n+1)-Sp(n)=(n+1)^p car Sp(n+1)-Sp(n)=sum(k=0,n+1,k^p)-sum(k=0,n,k^p) et sum(k=0,n+1,k^p)-sum(k=0,n,k^p)=(n+1)^p

→ **MyCalcs** profile · de **Hayleia** » 06 Fév 2014, 19:44

Oui, j'avais bien compris, et ma réponse tient toujours.

Ce n'est pas parce que A=> B que B=>A en d'autres termes. Toi tu dis "oh ben, ça marche si je teste avec ce qu'on me donne", oui mais qui te dis que c'est la seule solution ? En clair, tu dis "la fin colle bien avec le début", mais on te demande de montrer la fin à partir du début au contraire. Tu sautes du toit au lieu de grimper l'échelle.

→ **MyCalcs** profile · de **pierrotdu18** » 06 Fév 2014, 19:47

Hayleia a écrit:Oui, j'avais bien compris, et ma réponse tient toujours.

Ce n'est pas parce que A=> B que B=>A en d'autres termes. Toi tu dis "oh ben, ça marche si je teste avec ce qu'on me donne", oui mais qui te dis que c'est la seule solution ? En clair, tu dis "la fin colle bien avec le début", mais on te demande de montrer la fin à partir du début au contraire. Tu sautes du toit au lieu de grimper l'échelle.

Ah oui, ok, en gros, ce n'est pas parce que Sp(n+1)-Sp(n)=(n+1)^p est vérifié que de le calculer donnera forcément la bonne solution... :/

Bon du coup je vais relire ce que vous m'avez dit

→ **MyCalcs** profile · de **pierrotdu18** » 06 Fév 2014, 19:56

Bisam a écrit:Tu as une relation qui doit être vraie pour toute valeur de n, à savoir : Sp(n+1)-Sp(n)=(n+1)^p

Si on fait la somme de toutes les relations obtenues pour n variant de 0 à N-1, dans le membre de gauche tous les termes se simplifient et ils ne reste que Sp(N)-Sp(0)=Sp(N).
Dans le membre de droite, il vient sum((n+1)^p,n=0..N-1) ou encore en décalant les indices sum(n^p,n=1..N).

C'est ce que Hayleia a calculé... mais des mots aident souvent à la compréhension.

Heu... C'est déjà plus clair dans ma tête...
Mais je vois pas du tout comment je pourrais le rédiger rigoureusement... :/