Question A)1)
En 2015+0=2015, 42000 véhicules sont produits sur le site A.
Donc
$mathjax$u_0=42000$mathjax$
En 2015+12=2027, la production du site A sera nulle.
Donc
$mathjax$u_{27}=0$mathjax$
Question A)2)
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est donc une suite arithmétique de raison r négative.Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n=u_0+r\times n\\
\phantom{u_n}=42000+r\times n$mathjax$
\phantom{u_n}=42000+r\times n$mathjax$
Or,
$mathjax$u_{12}=0\Leftrightarrow 42000+r\times 12=0\\
\phantom{u_{12}=0}\Leftrightarrow 12 r=42000\\
\phantom{u_{12}=0}\Leftrightarrow r=\frac{42000}{12}\\
\phantom{u_{12}=0}\Leftrightarrow r=3500$mathjax$
\phantom{u_{12}=0}\Leftrightarrow 12 r=42000\\
\phantom{u_{12}=0}\Leftrightarrow r=\frac{42000}{12}\\
\phantom{u_{12}=0}\Leftrightarrow r=3500$mathjax$
Question B)1)
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_{n+1}=\left(1+\frac{5}{100}\right)v_n\\
\phantom{v_{n+1}}=(1+0,05)v_n\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05 v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=(1+0,05)v_n\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05 v_n$mathjax$
Donc
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométique de raison 1,05.En 2015+0=2015, 53000 véhicules sont produits sur le site B.
Donc son premier terme est
$mathjax$v_0=53000$mathjax$
Question B)2)
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=v_0\times 1,05^n\\
\phantom{v_n}=53000\times 1,05^n$mathjax$
\phantom{v_n}=53000\times 1,05^n$mathjax$
Question B)3)
2016=2015+1
$mathjax$v_1=53000\times 1,05^1\\
\phantom{v_1}=53000\times 1,05\\
\phantom{v_1}=55650$mathjax$
\phantom{v_1}=53000\times 1,05\\
\phantom{v_1}=55650$mathjax$
Donc le nombre de véhicules produits en 2016 sera de 55650.
2017=2015+2
$mathjax$v_2=53000\times 1,05^2\\
\phantom{v_1}=53000\times 1,1025\\
\phantom{v_1}=58432,5$mathjax$
\phantom{v_1}=53000\times 1,1025\\
\phantom{v_1}=58432,5$mathjax$
Donc le nombre de véhicules produits en 2016 sera de 58432 ou 58433.
Question B)4)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que de condition de poursuite v<95000.
Donc, l'algorithme se termine sur la réalisation de la condition contraire : v≥95000.
La variable v initialisée à
$mathjax$v_0=53000$mathjax$
et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence de la suite $mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est donc la nombre de véhicules produit sur le site B.La variable k initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le rang associé.
L'algorithme recherche donc à partir de 2015, le nombre d'années nécessaire pour que la production sur le site B atteigne la totalité des 95000 véhicules.
