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Mystère de la rosace Graph 35+E II ; quelle construction ?

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Mystère de la rosace Graph 35+E II ; quelle construction ?

Unread postby critor » 27 May 2019, 15:55

1107511073Pour la rentrée 2019,
Casio
t'apporte un superbe boîtier avec sa nouvelle
Graph 35+E II
au
design
à la croisée des Mathématiques, de la géométrie et des arts. Dans un article précédent nous te révélions les secrets derrière la forme originale de son pavé directionnel : une empreinte façon taille de pierre précieuse avec table octogonale et couronne à 24 facettes.

Mais ce n'est pas son seul secret dans ce style, puisque le verso une fois correctement éclairé nous fait également étinceler une superbe rosace.

Un soin tout particulier apporté à la décoration, du jamais vu sur un modèle d'entrée de gamme ! Et ceci tout en apportant en prime matière à chercher/discuter passionnément en cours de Maths à la rentrée ! :bj:

Mais quel est donc le secret de sa construction ?


Le manuel de la
Graph 35+E II
nous apporte des représentations de la rosace. Même si elles sont bien évidemment utiles à la compréhension, notons qu'elles ne sont pas tout-à-fait exactes. Si tu regardes bien, tu noteras que plusieurs segments ont été oubliés à divers endroits, alors que pourtant bien présents sur la calculatrice.

On dirait que cette rosace présente un pavage en losanges, losanges dont les deux diagonales sont tracées.

On peut donc avancer l'hypothèse d'une construction par superposition de deux éléments :
  • une toile façon araignée pour l'ensemble des diagonales
  • une rosace rhombique pour le pavage en losanges

La rosace rhombique d'ordre
n
se construit en partant de
n
losanges adjacents centraux, que l'on entoure de couches de losanges identiques jusqu'à-ce que le polygone obtenu soit convexe.

Et si on programmait cette construction pour voir ? Pas évident pour la rosace rhombique avec cette définition, mais on peut donner une autre méthode de construction équivalente, par rotation d'un polygone équilatéral
(à côtés de même longueur)
et même régulier si l'ordre
n
est pair. Une définition beaucoup plus facile à coder en dans un langage orienté tracé comme le
Scratch
ou le
Logo
.

11259Prenons donc notre
Casio fx-92+ Spéciale Collège
, puiqu'elle intègre un langage orienté tracé. La calculatrice est munie d'un écran matriciel de 192×63 pixels. Le langage en question permet de contrôler une zone graphique de 192×47 pixels. Par contre dans ce langage nous ne contrôlons que 7 variables, et ne pouvons avoir au mieux que 3 niveaux d'imbrication de blocs. Nous nous contenterons donc de ne tracer que les diagonales radiales des losanges. Voici ce que ça donne de l'ordre 3 à 7.
ImageImageImageImage

Ça ressemble peut-être au centre de la rosace de
Casio
, mais il va nous falloir aller plus loin. Or, nous commençons à être un peu à l'étroit sur cet écran.




11260Passons donc sur
Casio Graph 35+E II
afin d'avoir davantage de place sur son écran de 128×64 pixels. La calculatrice ne dispose pas d'origine d'un langage orienté tracé. Mais nous pouvons rajouter l'application
KhiCAS
qui donne accès à un langage
Python
disposant d'un module tortue qui convient. La zone graphique parcourue par la tortue est de plus défilable et zoomable. Voici ce que ça donne de l'ordre 5 à 9.
ImageImageImageImage

Visiblement, l'écran n'est relativement pas bien plus grand. Nous sommes toujours à l'étroit, et le tracé monochrome commence même à devenir fouilli. Un autre problème est que pour des raisons de mémoire, l'application
KhiCAS
limite la tortue à 256 déplacements consécutifs. Raison pour laquelle nous ne traçons toujours que les diagonales radiales.




11262Passons donc sur
Casio Graph 90+E
afin d'avoir davantage de place ainsi que de la couleur grâce à son écran de 400×228 pixels. Nous allons en profiter pour utiliser une couleur unique par polygone parcouru, afin de laisser une trace de la méthode construction. Voici ce que ça donne de l'ordre 9 à 13.

Ah, ça commence à ressembler non ? Toutefois l'application
KhiCAS
limite la tortue à 666 déplacements consécutifs. Donc nous ne pouvons toujours pas rajouter les diagonales non radiales, sinon cela va limiter considérablement l'ordre de la rosace.




11263Petite infidélité pour un article
Casio
mais pas d'autre choix à ce jour pour creuser le secret de la
Graph 35+E II
. Sortons donc la
NumWorks
avec son écran de 320×240 pixels. La calculatrice dispose d'un langage
Python
intégré avec module
turtle
. La tortue est ici limitée à une zone graphique de 320×222 pixels, mais cela devrait amplement nous suffire. Ici pas de limitation au nombre de déplacements de la tortue, donc nous allons enfin pouvoir tracer toutes les diagonales des losanges. Voici ce que ça donne de l'ordre 13 à 17.

Ça ressemble énormément, non ? Notons d'ailleurs que pour
n
grand on se rapproche visiblement de la rosace classique, construite non pas par rotation d'un polygone mais d'un cercle.




Alors, qu'en penses-tu ? La rosace de la
Casio Graph 35+E II
est-elle construite selon la définition de la rosace rhombique ou pas ? Si oui, de quel ordre ? Si non, quelle construction les 'designers' de
Casio
ont-ils alors adoptée ? ;)




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