Stage révision gratuit Spé Maths BAC 2025 avec Casio !

[parisse]

Centre étranger https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Etranger_s ... 025_DV.pdf
exo 1 suites,
Partie A pas besoin de calculatrice
Partie B
plotseq(-0.05*x^2+1.1*x,6,10) affiche graphiquement la suite récurrente, on voit qu'on va converger vers un point fixe, intersection de la 1ere bissectrice et du graphe, vers 2. On quitte le graphique et on a les 10 premières valeurs de la suite.
solve(-0.05*x^2+1.1*x=x) confirme que 2 est le point fixe.
Partie C
A: solve(6*0.93^x<3) puis shift F6 pour avoir une valeur approchée (10)
B: n=6 (affichage de plotseq)
B.3 avec la limite
B.4: Il y a une erreur d'énoncé qui a échappé aux concepteurs (et qui n'a pas été relevée par les rédacteurs du corrigé sur le site de l'apmep)! En effet le script ne pourra pas déterminer l'année à partir de laquelle B est supérieur à A, mais la première année telle que B est supérieur à A. Pour répondre à l'énoncé, il faudrait une justification complémentaire, vérifier que v_n>=u_n pour les indices suivants et on s'arrête lorsque u_n<2 qui est la limite de v_n.
Ensuite le plus rapide est d'utiliser l'application Suite de la calculatrice et de faire afficher le tableau de valeurs des deux suites récurrentes.

Exercice 2:
1/(a+exp(-b*x))=>f
f(x=0) renvoie 1/(a+1) et vaut 1/2 donc a=1.
Remarque: limit(f,x,oo) renvoie undef et un warning, car pour déterminer la limité, il faut ajouter l'hypothèse de l'énoncé b>0, en tapant sur la touche VARS (ou var sur Numworks) on sélectionne assume, et on saisit assume(b>0), on valide, on remonte dans l'historique et on recopie la limite qui renvoie maintenant 1/a, d'où a=1.
On remonte et on recopie la définition de f avec a remplacé par 1
1/(1+exp(-b*x)) => f
f'=>f1
f1(x=0) renvoie b/4
pente(droite(point(0,0.5),point(10,1))) renvoie .5e-1 soit 0.05 donc b=0.2 ou 1/5 (pour faire du calcul formel mieux vaut une valeur exacte), valeur donnée dans la suite de l'énoncé (toujours utile de lire un peu plus loin dans un sujet de bac...), on peut redéfinir f
1/(1+exp(-1/5*x)) => f
f'=>f1
Partie B
On a déjà calculé la limite
tabvar(f) et on extrait la partie sur x>=0
solve(f=0.97) renvoie 17.38... entre 17 et 18

Partie C:
integrate(f)
Q3: Deuxième erreur d'énoncé, il manque un - dans l'exponentielle de l'énoncé!
1/40*integrate(f,x,0,40.0)
Noter le 40.0 qui est une borne donnée en approché de l'intégrale, ce qui donne directement un résultat numérique approché. Si on met 40 au lieu de 40.0 on a le résultat exact, dans l'éditeur d'expression appuyer sur le curseur vers le haut et faire shift F6 (ou shift 6 sur la Numworks) pour avoir une valeur approchée.

Exercice 3: pas vraiment besoin de CAS ici...
64^4
perm(64,4)
63^4
64^4-63^4
4*63^3
comb(4,2)*63^2

partie B
binomial(250,1/100,0) donne la valeur exacte mais trop longue à recopier! Il faut donc donner la formule.
binomial(250,0.01,0) donne 0.81..e-1 soit 0.081
1-binomial_cdf(250,0.01,17) renvoie .13e-9 donc oui

partie C:
4*mean(binomial,250,0.01) renvoie 10
4*stddev(binomial,250,0.01)^2 renvoie 9.9

Exo 4:
point(1,0,3)=>A
point(-2,1,2)=>B
point(0,3,2)=>C
equation(plan(A,B,C)) renvoie le double de l'énoncé donc on a correctement saisi A, B et C.
plan(3x-3y+2z-9=0)=>P
plan(x-y-z+2=0)=>P1
inter_unique(P,P1)=>D
est_orthogonal(P,P1) renvoie 0 les plans ne sont pas orthogonaux
parameq(D) renvoie une équation paramétrique de D [(10t+1)/2,(10*t-1)/2,3] donc [10/2,10/2,0] est vecteur directeur, donc [1,1,0] aussi
subst(equation(P),[x,y,z],[2,1,3]) renvoie 0=0, de même pour P1
subst(equation(plan(A,B,C)),[x,y,z],parameq(D)) puis F1 simplify on obtient 0=0 donc D est bien dans le plan ABC
On peut voir la figure en tapant P,P1,plan(A,B,C),A,B,C,D

[parisse]

Un script qui répond à la question B.4 de l'exo 1 du sujet précédent:

Code: Select all

u=6
v=6
n=0
N=-1
while u>1.86:
    if v>u:
        if N==-1:
            N=n
    else:
        N=-1
    u=0.93*u
    v=v*(-0.05*v+1.1)
    n=n+1
print(2025+N)


Comme v>2, en sortie de boucle u>=1.86 donc le u précédent est <=2, on a fini par au moins une itération où v>u, donc N!=-1. Et là on s'est bien assuré que pour *tous* les indices>=N, on a v>u.
Bien entendu, il reste plus simple ici de vérifier à la main les indices à partir de 13 jusqu'à ce que u<=2.