Problème de maths fort intéressant

[Marco]

Alors voilà :
Soit une suite définie par :

En introduisant une série, montrer que la suite (un) converge.

1. Je démontre facilement que (un) est une suite à termes strictement positifs.
2. Je calcule u(n+2)-u(n+1),
j'obtiens u(n+2)-u(n+1) = -u(n) * (u(n+1)-u(n)) * 1/(u(n) + u(n+1)).
J'en déduis que pour tout n = 2, on peut écrire u(n) sous la forme :
u(n) = u(1) + somme pour k allant de 2 à n de (-u(k-2) * (u(k-1) - u(k-2))/(u(k-2) + u(k-1)))
u(n) = u(1) + somme pour k allant de 2 à n de ((-1)^k * u(k-2) * |u(k-1) - u(k-2)|/(u(k-2) + u(k-1))),
le (-1)^k pouvant être remplacé par (-1)^(k+1) selon les cas.
3. Je tenterais bien de prouver que u(k-2) * |u(k-1) - u(k-2)|/(u(k-2) + u(k-1)) décroît quand k augmente, mais je sèche...
Une idée ?

[Bisam]

Plus simplement, u(n+2)-u(n+1) est de signe contraire à u(n+1)-u(n) et la suite |u(n+1)-u(n)| décroît... je te laisse conclure.

[Levak]

Sans faire le problème mais en réponse à l'aide de Bisam : suites adjacentes ?

[Lasker]

Mince, le temps que je mette en LaTex pour qu'on voit mieux, c'est résolu, bon je le met quand même pour ne pas avoir l'impression de l'avoir fait pour rien..

C'est pratique quand même.
Edit: flûte, il y a deux fautes, un n mal placé en indice, et un u(k-1) à la place d'un u(k-2) dans la somme, désolé.

Edit2: si u(n) non constant alors u(n+1)!=u(n),
u(n+2) - u(n+1)=-u(n)/(u(n+1)+u(n))*(u(n+1)-u(n))
donc l(u(n+2) - u(n+1))/(u(n+1) - u(n))l-1=-u(n-1)/(u(n+1)+u(n))0 donc |u(n+1) - u(n)| décroit c'est ça ? Edit: Ah bah non en fait, u(n+1) peut être égale à u(n)...

[Marco]

Plus simplement, u(n+2)-u(n+1) est de signe contraire à u(n+1)-u(n) et la suite |u(n+1)-u(n)| décroît... je te laisse conclure.

Mais je ne sais pas que |u(n+1) - u(n)| décroît...

|u(n+2) - u(n+1)| donc u(n+2) u(n+1) - u(n)... ce qui ne m'apprend rien

L'énoncé dit que je dois utiliser une série, je pense à Liebniz, avec l'alternance.

EDIT (un) ne décroît pas.
EDIT 2 : je rajoute des valeurs absolues.

[Bisam]

Oups, j'ai raté la fin de la discussion.

Mais bien sûr que si, tu sais que |u(n+1)-u(n)| décroît puisque :

|u(n+2)-u(n+1)|=|u(n+1)-u(n)|*u(n)/(u(n+1)+u(n))

et que u(n)/(u(n+1)+u(n))=1

Ton idée de départ était donc la bonne... il te manquait juste la dernière inégalité que j'ai écrite (et qui est triviale une fois qu'on l'a vue).

[Marco]

Ah oui ^^
Effectivement. Merci beaucoup Bisam
C'était un exercice de khôlle. Tu fais des khôlles ?

[Bisam]

Ben, oui.
En général, un prof de prépa fait des colles à ses propres élèves (et parfois aussi à d'autres).
Je donne 4 heures de colles en sup et 1h en spé par semaine en plus de mes 13h devant mes élèves (seulement 11h pour eux).