Problème de congruence pas dure mais qui me pose problème

[chicu]

Voila on a u(n)=5n^(3)+n on veut démontrer que u(n) est divisible par 6
par récurence en utilisant la congruence. Donc j'ai posé comme propriété u(n) congru à 0 modulo 6 pour l'initialisation pas de blem mais pour l'hérédité je ne trouve pas. J'ai développé u(n+1) = 5n^(3)+15n^(2)+16n+6. Mais bon au mieux je trouve u(n+1) congru à 3*(5n*(n+1)) modulo 6 mais j'arrive pas à prouver qu'il est pair. Please Help (avec la voix de Lilou ^^)

[univscien]

Moi j'ai pas encore fait les congruence en Spé, mais dans l'énoncé ils te précisent qu'il faut les utilisers?

[chicu]

Il est précisé dans l'énoncé qu'il faut utiliser les congruences et la démonstration par récurence

[ced78fr]

je me souvient qu'il faut réustiliser l'hypothèse de récurrence : faut ce dévrouiller pour la faire ressortir

je ferai donc bien (vite fait)

5n^3 + 15n² + 15n + n + 1

donc 5n^3 + n est divisible par 6 (hypothèse de récurrence)

resterai à voir si on peut prouver par les congruence (et a mon avis c'est faisable) que 15n² + 15n + 1 est divisible par 6

en espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul...

[univscien]

Ben j'ai pas trop d'idée alors.

Mais c'est (5n)^3 ou 5n^3 ?

[chicu]

cinq fois n, ce dernier étant élevé au cube

[Yak]

Tu fait l'initialisation
Heredité.
On suppose P_n vraie
donc 5n³ + n congru à 0 modulo 3
Verifions que P_n+1 vraie
On a :
5(n+1)³ + (n+1) = 5n³ + 15n² + 15n + 5 + n + 1
= 5n³ + n + 3(5n² + 5n + 2)
Ainsi par hypothèse de recurance :
5n³ + n congru à 0 modulo 3
3(5n² + 5n + 2) congru à 0 modulo 3
Ainsi P_n+1 congru à 0 modulo 3 par somme


n(5n² + 1 congru à 0 modulo 2
Verifions si P_n+1 vraie :
.
.
.
5n³ + n+ 3(5n² + 5n + 2) = 5n³ + n+ 3(5n² + 5n + 2)
en train de chercher

[chicu]

Ben ui la divisibilité par 3 est simple mais par 2

[Yak]

je ferais undijonction des cas. ça a l'air de pas mal marcher pour 2

[chicu]

Gros gg Mic en plus je l'avais vu le coup des termes consécutif mais je suis un peu niais (prononcé gniééééééé). Merci bien