[Maths] Une dérivée bizarre ...

[vparres]

Bonjour tout le monde !
En voulant m’entraîner avec le sujet du Bac 2015 de Pondichéry, je suis tombé sur un problème en voulant dériver l'exponentielle

$mathjax$f(x)=\frac{3}{1+e^-2x}$mathjax$

de l'exercice 1, partie A :
Ma TI-nSpire CX CAS et même la Ti-89 d'une amie me donne un résultat délirant : au lieu de trouver

$mathjax$f'(x)=\frac{3(-2e^-2x)}{(1+e^-2x)^2}$mathjax$

ma nSpire me donne ça :

Avec en plus le message d'erreur "Le domaine du résultat peut être plus grand que le domaine de l'entrée".
Je suppose que j'ai fait une erreur et qu'il existe une solution afin d'obtenir un résultat disons ... adapté à mon niveau

Merci d'avance

EDIT : OS 3.6.0.550 avec ndLess

[Bisam]

Oui, tu as fait une erreur... mais pas celle que tu crois !
La calculette utilise une fonction que tu ne connais pas... la fonction "sinus hyperbolique" (notée "sinh" sur la calculette).
Elle est définie par

$mathjax$\sinh(x)= \frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)$mathjax$

.

Mais ton erreur vient du fait que tu as mis un signe - au dénominateur et non un signe + dans ton calcul !

Il est possible cependant que la calculette envoie une réponse utilisant le "cosinus hyperbolique" défini par

$mathjax$\cosh(x)= \frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$mathjax$

.

Tu peux essayer de développer l'expression avec la fonction "expand" pour obtenir une expression avec des exponentielles...

[vparres]

Merci Bisam !
Je n'ai pas tout compris sur cette histoire le signe - au lieu du signe +. De plus j'ai commis une deuxième erreur, sur mon screen j'ai mis - au dénominateur au lieu de +. Du coup au lieu de me retrouver avec du Sinus Hyperbolique, je me retrouve avec du cosinus hyperbolique, ça reste encore flou pour moi. Si tu veux bien éclairer un peu plus ma lanterne avec le développement, etc, etc ... ça me sauverais beaucoup.
Enfin je pense que le plus sage, en attendant d'en savoir plus, c'est de bien m’entraîner a faire les dérivées d'exponentielles à la main ^^

Enfin bon, je vais pas dire, mais pour la plupart des calculs, ma nSpire m'aide déjà pas mal, je vais pas trop râler après elle, elle à un bien meilleur niveau que moi en mathématiques, et je compte sur elle au bac pour tout vérifier,je vérifirais même si 2+2 font bien 4, on est jamais sûrs xD

[Bisam]

Dans ton énoncé, tu as écrit :

$mathjax$f(x)=\dfrac{3}{1+e^{-2x}}$mathjax$

Sur la calculette, tu as écrit :

$mathjax$f(x)=\dfrac{3}{1-e^{-2x}}$mathjax$

C'était ce que je voulais dire par "erreur"... et tu l'a dit toi-même !!

Pour la vérification, tu tapes expand(ton truc) pour voir comment ça se développe... mais bon, là, c'est encore pire...

Petite remarque au passage : ici, la dérivée ne sert à rien pour déterminer les variations de la fonction !! On peut le faire plus simplement avec des composées de fonctions.

[vparres]

Ah d'accord ^^
Bon quand j'ai tenté de développer, ça été pire en effet. Pour les composées de fonction ça ne me dis rien du tout, j'ai du rater ça pendant mes cours ... Je pense que pour l'épreuve au Bac, si je me retrouve face a une dérivée de ce type, j'arriverais a me débrouiller sans l'aide de MME nSpire
Ça ne me plait pas de ne pas avoir une double confirmation sur la dérivée mais bon, c'est la vie

[Bisam]

L'histoire des composées, c'est quand tu dis, par exemple :

• f est croissante sur l'intervalle I
• pour tout x dans I, f(x) est dans J
• g est croissante sur J

DONC, par composée, la fonction

$mathjax$x\mapsto g(f(x))$mathjax$

est croissante sur I.

Ici, tu peux dire :

• La fonction
  $mathjax$f_1 : x\mapsto 1+e^{-2x}$mathjax$
  est décroissante sur
  $mathjax$\mathbb{R}$mathjax$
• Pour tout x dans
  $mathjax$\mathbb{R}$mathjax$
  ,
  $mathjax$f_1(x)\in \mathbb{R}_+^*$mathjax$
• La fonction
  $mathjax$f_2 : x\mapsto\frac{3}{x}$mathjax$
  est décroissante sur
  $mathjax$\mathbb{R}_+^*$mathjax$

DONC, par composée, la fonction

$mathjax$f:x\mapsto f_2(f_1(x))=\dfrac{3}{1+e^{-2x}}$mathjax$

est croissante sur

$mathjax$\mathbb{R}$mathjax$

.