[Question] Dérivées partielles d'équa diff à plusieurs vars

[lancelot du lac]

Bonjour,

J'ai une question sur les équations différentielles à multiples variables. J'aimerais faire le formalisme de lagrange pour trouver les équations d'états de mon système.

je dois faire par ex :

diff(((1)/(2))*(m1+m2)*(r')^(2)+((1)/(2))*(j+m*l^(2))*(θ')^(2)+m*l*r'*θ'*cos(θ)-m*g*l*cos(θ),r')

sachant que les primes veulent dire dérivé par rapport au temps bien entendu, et que je dois encore dérivé le résultat par le temps après.

J'ai ni trouvé comment le faire dans wolfram alpha, maple, matlab, et Maxima.

J'aimerais une solution si possible, car c'est lourd comme formalisme et j'aimerais pouvoir vérifié mes calculs.

[Bisam]

Il suffit de donner d'autres noms aux fonctions qui sont des dérivées, non ?

[lancelot du lac]

oui et non.

Oui pour une simple dérivée partielle, donner un autre nom, ne pose aucun soucis.

Sauf quand on fait la dérivation par rapport au temps, c'est la que rien ne vas plus.

Mon prof m'a montré sous matlab ( qui devrait aussi marcher sur Ti )

de faire 4 variables
x1 x2 x3 x4
et 4 dérivées
dx1 dx2 dx3 dx4

tu déclares ça comme symbolique, ( donc rien à faire sur ti autre que vérifier que ces vars sont vide ).

pour faire df/dt tu fais df/d(x1)*dx1+df/d(x2)*dx2+...

en gros ça revient au même, juste que la forme est pas forcément totalement simplifié.

Pour info, mon problème est sur le pendule inversé et ici on fait le calcul de lagrange pour obtenir les équations du système.


Un programme qui ferait ça nativement serait le bienvenu. J'ai malheureusement pas le temps de m'en charger. ( pour le moment ... )

[Bisam]

Mon seul cours de physique sur la méthode lagrangienne était il y a 15 ans...donc je ne me rappelle plus très bien.
Mais si tu explique ce que tu veux faire, je devrais pouvoir te le faire.
J'ai déjà fait un programme pour résoudre les systèmes d'équations différentielles et il calcule tout seul l'ordre en reconnaissant les dérivées. Je devrais pouvoir le modifier pour obtenir ce que tu veux.

[lancelot du lac]

et bien j'ai deux variables ;

r(t) et θ(t)

et j'ai une commande F = Kf*u(t).

Kf constant et u(t) variable en fonction du temps inconnue.

en fait, u(t) c'est mon entrée en tension, et je ne connais pas sa forme mathématique, juste que c'est une fonction du temps.

Donc je ne peux résoudre les équations diff, c'est normal vu que je n'ai pas l'entrée.

j'utilise donc le formalisme de newtown mais les autres conviendrais aussi.

quand je dérive u r ou θ par rapport au temps, j'obtiens u_point r_point θ_point. ( les vitesses linéaire et angulaire ).

et r_point_point et θ_point_point qui correspondent aux accélérations.

prenons une équation simplifié pour expliquer le problème.

j'ai L = (m1+m2)*r_point^2+m1*θ_point^2

lagrange dit :

dérivé(différentielle(L,r_point),temps)-différentielle(L,r)=F

dérivé(différentielle(L,θ_point),temps)-différentielle(L,θ)=0

faire la différentielle par rapport à une variable ça va. Pour la différentielle par rapport à une variable qui est déjà dérivé du temps, il suffit de dire que c'est une autre variable et donc ça va aussi.

faire la dérivé par rapport au temps, la ça commence à poser des problème. Sans l'expression de r et de θ, aucun programme accepte de dériver, et de dire qu'elle est la dérivée de ce genre de chose par ex :

θ_point*r_point*cos(θ), le tout dérivé par rapport au temps.

donc θ_point = dθ/dt = θ'(t) , c'est juste plus commode pour écrire, vu qu'il en a partout, mais je pense que tu dois connaitre.

[Bisam]

Ok, je vais voir ce que je peux faire. Je pense que c'est faisable.
Peux-tu dire précisément ce que tu souhaiterais que le programme fasse ? Genre, tu donnes le Lagrangien et le programme calcule l'équation du mouvement ou autre...

[lancelot du lac]

le truc qui serait top, c'est tu donnes l'équation, et le programme donne les deux matrices.

bon c'est pas trop dur a mettre sous forme matricielle à la main, je pense ça doit pas être trop compliqué non plus à la machine.

une fois que tu as tes équations,

tu mets tes termes en r_point_point et θ_point_point en facteur, du coté 'gauche' de l'équation, et tout le reste à droite.

donc ça te donne quelque chose du genre :

r_point_point*f1(r,θ)+θ_point_point*f2(r,θ) = F - ...
&
r_point_point*f1(r,θ)+θ_point_point*f2(r,θ) = 0 - ...

ce qui peut être ramené sous forme matricielle à trois matrices :

m*[r_point_point;θ_point_point] = somme_des_forces.

donc tu obtiens :

[r_point_point;θ_point_point] = m^-1 *somme_des_forces

donc ici m est une 4x4 et somme_des_forces est une 2x1 et [r_point_point;θ_point_point] une 2x1.

Bon la c'est hyper simple à mettre sous cette forme à la main, mais le cas ou tu as plus que 2 variables d’accélération, c'est un peu mission impossible. ( pas sous forme matricielle, mais par remplacement, certes c'est des équations à plusieurs variables à plusieurs équations, mais vu la taille du truc à chaque fois, tu n'arrive jamais à l'écrire en une ligne sur du A4 portrait, tu passes souvent en mode paysage, si c'est pas sur du A3 ... c'est pour ça qu'on utilise la forme matricielle )

La c'est simple car j'ai qu'un prismatique ( un axe de translation ) et une rotoïde ( un axe de rotation ). ( respectivement 1ère et 2nd équation ). Mais je peux en avoir autant que la complexité du système en comporte. de 0 à 10 sur chacun des types d'axes. ( faire plus c'est ultra rare mais pas impossible )

déjà rien que la dérivé par rapport au temps, c'est super cool, après le reste c'est utile mais bon si c'est pour se casser la tête je crois qu'il vaut mieux pas s'embetter.

[Bisam]

Ben ,en fait, c'est pas si compliqué... ça ressemble beaucoup à ce que j'ai déjà fait... mais il faudra que je traduise, car je l'ai fait pour 68k et non pour Nspire.
Si tu pouvais joindre un fichier où il y a un exemple détaillé, je m'en charge.

[lancelot du lac]

voilà,

dsl pour la réponse tardive, j'ai eu pas mal d'occupation.

http://dl.free.fr/i2R2z830W

Sinon, j'ai trouvé une méthode pour le faire sous maple de façon confortable, en fait il fallait ajouter un module, si ça intéresse quelqu'un je peux poster la méthode.