by Premier sujet à priver les élèves non-spécialistes d'algorithme, c'est aussi le tout premier sujet 2014 à poser une ROC, là où les 5 autres sujets ces dernières semaines et derniers mois dans les centres d'examens français à l'étranger l'avaient évitée.
Jetons un coup d'oeil à cette ROC en exercice 2:
Déjà, il s'agit d'une ROC sur les complexes et donc sur ce qui était déjà au programme jusqu'en 2012.
Donc, tu avais peut-être des choses approchantes sur ta calculatrice.
Mais la question de ROC porte à mon sens bien mal son nom, au sens où il ne s'agit pas de 'restituer' une démonstration apprise par coeur.
En mathématiques, il y a nombre de façons différentes de démontrer une même propriété, tout dépend des prérequis que l'on s'autorise.
L'énoncé de cette ROC comme toujours impose une partie de ce qu'il va falloir utiliser - mettons cela en évidence en surlignant en jaune:
C'est certes un cadre sanctionnant le hors-sujet pour qui recopie une démonstration-calculatrice n'utilisant même pas les prérequis imposés.
Mais c'est aussi un superbe indice pour qui sait retourner cette contrainte à son avantage: l'énoncé indique comment faire !
Visiblement, l'énoncé s'attend à une démonstration en partie algébrique, c'est-à-dire en faisant appel à l'écriture algébrique des nombres complexes.
La propriété à démontrer étant une égalité, tentons donc grâce à l'écriture algébrique d'en simplifier chaque membre afin de voir si l'on obtient la même chose:
Posons
$mathjax$z_1=x_1+i y_1$mathjax$
et $mathjax$z_2=x_2+i y_2$mathjax$
.Pour tous nombres complexes z1 et z2:
$mathjax$\overline {z_1 z_2}=\overline {\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2+i y_2\right)}=\overline {x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i x_2 y_1 + i^2 y_1 y_2}\\
\phantom{\overline {z_1 z_2}}=\overline {x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i x_2 y_1 - y_1 y_2}=\overline {x_1 x_2 -y_1 y_2 +i\left(x_1 y_2 + x_2 y_1\right)}\\
\phantom{\overline {z_1 z_2}}=x_1 x_2 -y_1 y_2 -i\left(x_1 y_2 + x_2 y_1\right)$mathjax$
\phantom{\overline {z_1 z_2}}=\overline {x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i x_2 y_1 - y_1 y_2}=\overline {x_1 x_2 -y_1 y_2 +i\left(x_1 y_2 + x_2 y_1\right)}\\
\phantom{\overline {z_1 z_2}}=x_1 x_2 -y_1 y_2 -i\left(x_1 y_2 + x_2 y_1\right)$mathjax$
Or, pour tous nombres complexes z1 et z2:
$mathjax$\overline {z_1}\times\overline {z_2}=\left(x_1-i y_1\right)\left(x_2-i y_2\right)=x_1 x_2 +i^2 y_1 y_2-i x_1 y_2 -i x_2 y_1\\
\phantom{\overline {z_1}\times\overline {z_2}}=x_1 x_2-y_1 y_2-i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right)$mathjax$
\phantom{\overline {z_1}\times\overline {z_2}}=x_1 x_2-y_1 y_2-i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right)$mathjax$
Donc pour tous nombres complexes z1 et z2:
$mathjax$\overline {z_1 z_2}=\overline {z_1}\times\overline {z_2}$mathjax$
Pour démontrer la seconde propriété que nous noterons Pn, nous allons faire un raisonnement par récurrence dans lequel nous ferons appel à la première.
Par récurrence:
- Initialisation:
Pour n=1,$mathjax$\overline{z^1}=\overline{z}$mathjax$et$mathjax$\overline{z}^1=\overline{z}$mathjax$.
Donc$mathjax$\overline{z^1}=\overline{z}^1$mathjax$et la propriété est vérifiée au rang 1. - Hérédité:
Supposons que la propriété Pn est vérifiée c'est-à-dire que:$mathjax$\overline{z^n}={\overline z}^n$mathjax$.
Montrons alors que Pn+1 est également vérifiée, c'est-à-dire que$mathjax$\overline{z^{n+1}}={\overline z}^{n+1}$mathjax$.
Il s'agit d'une égalité, encore une fois partons d'un côté mais cette fois-ci pour arriver à l'autre.$mathjax$\overline {z^{n+1}}=\overline{z\times z^n}=\overline z \times \overline {z^n}$mathjax$d'après la propriété précédemment démontrée.
Donc$mathjax$\overline {z^{n+1}}=\overline z \times {\overline z}^n$mathjax$d'après l'hypothèse de récurrence.
Enfin$mathjax$\overline {z^{n+1}}={\overline z}^{n+1}$mathjax$.
La propriété est vérifiée au rang n+1. - Conclusion:
Pour tout nombre complexe z,$mathjax$\overline{z^n}={\overline z}^n$mathjax$
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
