Intéressons-nous ce soir à l'algorithme qui est tombé en France en septembre 2013 au BAC STL spécialité biotechnologies, un algorithme sur les suites géométriques:
Question 1)a)Chaque année, le salaire de Monsieur Durand augmente de 1,7%.
Le coefficient multiplicateur associé est alors 1+
$mathjax$\frac{1,7}{100}$mathjax$
=1,017.
Donc: a
n+1=a
n×1,017.
Notons que (a
n) est une suite géométrique de raison 1,017.
Question 1)b)De plus, le salaire initial en 2012 étant de 1300€, on a a
0=1300.
Donc: a
n=a
0×1,017
n=1300×1,017
n.
Question 2)Chaque année, le salaire de Madame Martin augmente de 2,3%.
Le coefficient multiplicateur associé est alors 1+
$mathjax$\frac{2,3}{100}$mathjax$
=1,023.
Donc: b
n+1=b
n×1,023.
Notons que (b
n) est une suite géométrique de raison 1,023.
De plus, le salaire initial en 2012 étant de 1150€, on a b
0=1150.
Donc: b
n=b
0×1,023
n=1150×1,023
n.
Question 3)a)Il est possible de faire fonctionner l'algorithme sans calculatrice en réalisant une trace.
Il s'agit d'un tableau donnant l'état de toutes les variables utilisées par l'algorithme, à chaque exécution d'une nouvelle instruction.
| Instruction exécutée | B | N | Affichage |
| B prend la valeur 1300 | 1300 | | |
| N prend la valeur 0 | 1300 | 0 | |
| Remplacer N par N+1 | 1300 | 1 | |
| Remplacer B par B×1,017 | 1322,1 | 1 | |
| Remplacer N par N+1 | 1322,1 | 2 | |
| Remplacer B par B×1,017 | 1344,57 | 2 | |
| Remplacer N par N+1 | 1344,57 | 3 | |
| Remplacer B par B×1,017 | 1367,43 | 3 | |
| Remplacer N par N+1 | 1367,43 | 4 | |
| Remplacer B par B×1,017 | 1390,68 | 4 | |
| Remplacer N par N+1 | 1390,68 | 5 | |
| Remplacer B par B×1,017 | 1414,32 | 5 | |
| Afficher N+2012 | 1414,32 | 5 | 2017 |
Le résultat fourni par l'algorithme est donc 2017.
Cette justification par trace n'étant toutefois pas demandée ici, on peut aussi programmer cet algorithme sur notre calculatrice graphique et lui demander le résultat.
Voici par exemple les programmes pour TI-Nspire/89/92/V200 et TI-82/83/84 qui nous confirment le même résultat:
La même chose est réalisable si vous êtes doté d'une autre calculatrice. Voici par exemple les programmes équivalents pour Casio Graph/fx-CG et HP-39gII/Prime:
Ou encore ci-contre, la version pour Casio Classpad/fx-CP.
Question 3)b)La valeur affichée N+2012 représente une année.
Or l'algorithme se termine sur sortie de la boucle tant que, c'est-à-dire sur la réalisation du contraire de sa condition de poursuite B≤1400, ce qui donne ici B>1400.
Il s'agit donc de l'année où le salaire de Monsieur Durand dépasse 1400€.
Question 4)a)Pour l'année où le salaire de Madame Martin dépasse 1500€, il nous suffit de modifier l'algorithme précédent de la façon suivante, puisqu'il s'agit du même type de question:
- remplacer le salaire initial de 1300 par 1150
- remplacer le salaire recherché de 1400 par 1500
- raplacer le coefficient multiplicateur de 1,017 par 1,023
Ce qui nous donne:
- Code: Select all
B prend la valeur 1150
N prend la valeur 0
Tant que B≤1500
Remplacer N par N+1
Remplacer B par B×1,023
Fin Tant que
Afficher N+2012
Question 4)b)La réalisation d'une trace de l'algorithme précédent ou les mêmes modifications apportées à nos programmes nous fournissent l'année 2024.
Ce résultat est aussi trouvable algébriquement, méthode que l'on pouvait notamment utiliser si l'on n'arrivait pas à répondre à la question précédente:
b
n>1500
1150×1,023
n>1500
1,023
n>
$mathjax$\frac{1500}{1150}$mathjax$
1,023
n>
$mathjax$\frac{30}{23}$mathjax$
$mathjax$\ln\left(1,023^n\right)>\ln\left(\frac{30}{23}\right)$mathjax$
$mathjax$n\times\ln(1,023)>\ln\left(\frac{30}{23}\right)$mathjax$
$mathjax$n>\frac{\ln\left(\frac{30}{23}\right)}{\ln(1,023)}$mathjax$
car ln(1,023)>0
Or,
$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{30}{23}\right)}{\ln(1,023)}$mathjax$
≈11,7.
Donc n≥12.
Ce qui confirme bien que le salaire de Madame Martin dépasse 1500€ en 2012+12=2024.
Question 5)b
n>a
n1150×1,023
n>1300×1,017
n$mathjax$\frac{1,023^n}{1,017^n}>\frac{1300}{1150}$mathjax$
$mathjax$\left(\frac{1,023}{1,017}\right)^n>\frac{26}{23}$mathjax$
$mathjax$\ln\left(\left(\frac{1,023}{1,017}\right)^n\right)>\frac{26}{23}$mathjax$
$mathjax$n\times\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)>\ln(\frac{26}{23})$mathjax$
$mathjax$n>\frac{\ln\left(\frac{26}{23}\right)}{\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)}$mathjax$
car
$mathjax$\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)>0$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{26}{23}\right)}{\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)}\approx 20,8$mathjax$
Donc n≥21.
C'est donc en 2012+21=2033 que le salaire de Madame Martin dépassera celui de Monsieur Durand.
Téléchargement : BAC STL 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
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