Voici ce soir la correction de l'algorithme tombé ce matin en exercice 4 dans le sujet de Mathématiques Obligatoire du BAC S 2014 des lycées français du Liban.
Question A-1 :$mathjax$u_0=\left\lvert {z_0}\right\lvert=\left\lvert {\sqrt {3} -i}\right\lvert =\sqrt { {\sqrt {3}^2+1^2}}=\sqrt {3+1}=\sqrt 4=2$mathjax$
Question A-2 :$mathjax$\dfrac {u_{n+1}}{u_n}=\left\lvert {\dfrac { z_{n+1}}{z_n}} \right\lvert=\dfrac {\left\lvert {z_{n+1}}\right\lvert}{\left\lvert z_n \right\lvert}=\left\lvert {\dfrac {(1+i)z_n}{z_n }}\right\lvert=\left\lvert {1+i}\right\lvert=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt {1+1}=\sqrt 2$mathjax$
Donc, d'après la question A-1,
$mathjax$\left( {u_n} \right)$mathjax$
est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison
$mathjax$q=\sqrt 2$mathjax$
.
Question A-3 :Donc, d'après la question A-3,
$mathjax$\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0 \times q^n=2 \times (\sqrt {2})^n$mathjax$
Question A-4 :$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}{(\sqrt 2)^n}=+\infty$mathjax$
car
$mathjax$\sqrt 2 > 1$mathjax$
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=+\infty$mathjax$
Question A-5 :Remarque: Il s'agissait donc pour une fois de concevoir un algorithme quasiment au complet, compétence rarement évaluée dans les sujets antérieurs ayant surtout insisté sur la compréhension d'algorithmes fournis ou la complétion d'algorithmes à trous.
Comme $mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=+\infty$mathjax$
, il existe une solution quelque soit le réel p donné.Identifions tout d'abord les variables utilisées dans l'algorithme et leur lien avec le problème:
- n est l'indice de la suite, initialisé à 0
- u est la valeur du terme un, initialisé à u0
- p est la valeur recherchée
En sortie de l'algorithme, on doit vérifier la condition
$mathjax$u>p$mathjax$
.
Afin de l'obtenir, on peut donc organiser l'algorithme autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite son contraire:
$mathjax$\leq$mathjax$
.
Nous partons du premier terme et il suffit alors de rajouter simplement dans la boucle les affectations pour calculer correctement par récurrence le terme suivant afin de garantir que l'algorithme trouve l'indice du premier terme vérifiant la propriété recherchée.
- Code: Tout sélectionner
Variables:
u est un réel
p est un réel
n est un entier
Initialisation:
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 2
Entrée:
Demander la valeur de p
Traitement:
Tant que u≤p
Affecter à n la valeur n+1
Affecter à u la valeur u×√2
Fin du tant que
Sortie:
Afficher n
En examen, le bon fonctionnement de l'algorithme produit pouvait être vérifié par programmation sur la calculatrice.
Voici les programmes pour TI-82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Graph/Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
Téléchargement : BAC S 2014: Annales des sujets inédits 2013-2014
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